1 Ответ
1. Из трёхзначного числа 123 путём вычёркивания цифр можно получить двузначные числа: 12, 13 и 23, а 31 нельзя. Из какого наибольшего девятизначного числа можно вычёркиванием цифр получить следующие трёхзначные числа: 748, 391, 562?
Ответ: 756483921
Ответ: 865432719
Ответ: 853472619
Ответ: 749835216
2. Числа a и b обратны натуральным (то есть имеют вид 1/N). Известно, что a = b/(13b − 1). Какое максимальное значение может принять 1/(ab)?
Ответ: 42
Ответ: 30
Ответ: 20
Ответ: 12
3. На острове Рыцарей и Лжецов есть правило: рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. На банкет пригласили 36 островитян. Их рассадили за три стола, по двенадцать человек за каждым. Затем каждого спросили: «Кого больше среди одиннадцати твоих соседей по столу, рыцарей или лжецов»? За первым столом все сказали, что больше рыцарей. За вторым столом все сказали, что больше лжецов. За третьим столом были оба варианта ответа, и «больше рыцарей», и «больше лжецов», других ответов не было.
Определите минимальное возможное число лжецов среди сидящих за столами.
Определите максимальное возможное число лжецов среди сидящих за столами.
Ответ: 7; 29
Ответ: 5; 19
Ответ: 8; 34
Ответ: 6; 24
4. Про функцию f известно, что для всех действительных x
2f(x + 6) + f(4) = x + 8.
Чему равно f(24)?
Ответ: 12
Ответ: 4
Ответ: 3
Ответ: 14
5. Числа {a, b, c, d, e} — это переставленная пятёрка чисел {2, 5, 6, 7, 8}. Многочлен степени a разделили без остатка на многочлен степени b, затем возвели в степень c, умножили на многочлен степени d, и прибавили многочлен степени e. Многочлен какой наименьшей и наибольшей степени мог в итоге получиться?
Наименьшая степень:
Наибольшая степень:
Ответ: 7; 48
Ответ: 8; 35
Ответ: 7; 41
Ответ: 9; 47
6. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Известно, что ∠CAD = 2∠ADB, ACD = 5∠BAC. На окружности взяли точки E и F, такие что BE параллельно CD, CF параллельно AB. Найдите угол между прямыми DF и BE. Ответ выразите в градусах.
Ответ: 60
7. Бочонок — это пространственное тело, образованное тремя правильными многоугольниками, лежащими один над другим. Бочонок имеет одинаковые верхнюю и нижнюю грани — правильные многоугольники, и боковые грани в виде трапеций, так что одно основание каждой трапеции является ребром верхней или нижней грани, а другое является стороной среднего многоугольника, как показано на примере с десятиугольником.
В каждой грани бочонка с 12-угольниками в основании провели ровно одну из диагоналей. Какое максимальное число звеньев может иметь образованная этими диагоналями ломаная, не проходящая через одну и ту же точку дважды (ломаная может оказаться замкнутой, и тогда совпадение начала и конца не считается повторным прохождением точки)? Пример такой ломаной отмечен зелёным цветом.
Ответ: 25
8. На исправных часах установили неправильное время и запустили их. В полдень (в 12:00) угол между часовой и минутной стрелкой оказался таким же, как через 16 минут (в 12:16). Каким мог бы быть этот угол в градусах? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 44; 136
Ответ: 22; 158
Ответ: 33; 147
Ответ: 11; 169
9. Пусть (a₁, a₂, …, a₃₀) — некоторая перестановка целых чисел от 3 до 32: (3, 4, 5, …, 32). Какие значения может принимать выражение log₂(a₁) · log₃(a₂) · … · log₃₁(a₃₀)? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 5
Ответ: 6
Ответ: 3
Ответ: 4
10. Для какого наименьшего натурального y данное уравнение имеет решение в целых числах?
x^x = 13^(y²)
Ответ: 338
Ответ: 722
Ответ: 242
Ответ: 578
11. В кружке занимаются 12 детей, поровну мальчиков и девочек, у всех имена разные. Для хоровода им надо встать в круг, чтобы мальчики и девочки чередовались. Маша и Лёва непременно хотят стоять рядом, а Настя и Артём, наоборот, категорически не хотят держаться за руки. Сколько существует способов расставить детей? Расстановки, получающиеся поворотом круга, считаем одинаковыми, а получающиеся отражением круга — разными.
Ответ: 18432
Ответ: 648
Ответ: 23040
Ответ: 864
12. В прямоугольном треугольнике ABC вписанная окружность касается гипотенузы AB в точке K, а катетов BC и AC — в точках M и P соответственно. H — основание перпендикуляра из точки K на CB, E — основание перпендикуляра из точки M на KP. Чему равен угол между прямыми EH и MK, если ∠ABC = 76°? Ответ выразите в градусах.
Ответ: 83
Ответ: 76
Ответ: 82
Ответ: 78
