1 Ответ
1. Андрей и Борис тренируют броски в баскетболе. Однажды они выполнили в общей сложности 154 штрафных броска на двоих, при этом каждый выполнил хотя бы один бросок. Андрей реализовал ровно 1/4 своих штрафных бросков, а Борис — ровно 2/7 своих. Какое максимальное количество успешных штрафных бросков они могли бы выполнить на двоих?
Ответ: 43
2. Какую сумму цифр может иметь число, делящееся на 13? Выберите все подходящие варианты:
1
2
5
7
12
14
Ответ: 2; 5; 7; 12; 14
3. На плоскости расположены 18 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Некоторые (не менее одной) из них покрасили в красный цвет, а остальные (не менее одной) — в синий. Потом провели всевозможные отрезки, соединяющие данные точки. Назовём отрезок одноцветным, если он соединяет точки одного цвета, иначе — разноцветным. Пусть было A разноцветных и B одноцветных отрезков.
Найдите наибольшее возможное значение разности A − B.
Ответ: 9
Найдите наименьшее возможное значение разности A − B.
Ответ: -119
4. В угол AOB вписаны окружности ω₁, ω₂, …, ω₅ так, что окружность ωᵢ₊₁ касается ωᵢ для всех 1 ≤ i ≤ 4. Обозначим за Aᵢ точку касания окружности ωᵢ со стороной OA. Найдите (A₁A₂ · A₃A₄) / (A₂A₃ · A₄A₅), если радиусы окружностей ω₁ и ω₅ равны 3 и 2523 соответственно.
Ответ: 1/29
5. Вася случайным образом выбирает число n из множества {241; 242; …; 250} и считает количество нулей, на которое оканчивается произведение n(n + 1)(n + 2). Петя случайным образом выбирает число m из множества {323; 324; …; 332} и также считает количество нулей, на которое оканчивается произведение m(m + 1)(m + 2)(m + 3)(m + 4).
С какой вероятностью количество нулей у Васи будет больше, чем у Пети? Ответ запишите в виде несократимой дроби.
Ответ: 1/5
С какой вероятностью у Васи и у Пети будет поровну нулей? Ответ запишите в виде несократимой дроби.
Ответ: 7/25
6. Найдите количество способов разрезать прямоугольник 4 × 13 на прямоугольники 1 × 4 и квадраты 4 × 4. Фигуры можно поворачивать.
Ответ: 137
7. Обозначим множество A — множество натуральных чисел, не превосходящих 361 и больших 1, B — множество натуральных чисел, не превосходящих 209. Для каждой пары чисел a ∈ A, b ∈ B посчитали число НОД(a − 1, b + 1) · НОД(a, b) и записали на доску. Чему равно наибольшее число, написанное на доске?
Ответ: 570
8. В тетраэдре ABCD точки M, N, K, L — середины рёбер AD, BC, AB и CD соответственно. Оказалось, что отрезок MN перпендикулярен BC и AD, а отрезок KL перпендикулярен AB и CD. Найдите расстояние между прямыми AC и BD, если BC = 5, AB = 11, AC = 12.
Ответ: 1
