1 Ответ
1. Поверхность куба со стороной n покрасили белой краской, а после разрезали на n³ маленьких кубиков. Чему равно n, если суммарно белым покрашена ровно пятая часть всех граней маленьких кубиков?
Ответ: 5
№1.2
Поверхность куба со стороной n покрасили белой краской, а после разрезали на n³ маленьких кубиков. Чему равно n, если суммарно белым покрашена ровно седьмая часть всех граней маленьких кубиков?
Ответ: 7
№1.3
Поверхность куба со стороной n покрасили белой краской, а после разрезали на n³ маленьких кубиков. Чему равно n, если суммарно белым покрашена ровно шестая часть всех граней маленьких кубиков?
Ответ: 6
№1.4
Поверхность куба со стороной n покрасили белой краской, а после разрезали на n³ маленьких кубиков. Чему равно n, если суммарно белым покрашена ровно восьмая часть всех граней маленьких кубиков?
Ответ: 8
2. Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение: (m + n)(k + l)(p + q) = 1414?
Ответ: 3600
№2.2
Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение: (m + n)(k + l)(p + q) = 1010?
Ответ: 2400
№2.3
Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение: (m + n)(k + l)(p + q) = 2222?
Ответ: 6000
№2.4
Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение: (m + n)(k + l)(p + q) = 606?
Ответ: 1200
3. Из трёхзначного числа вычли учетверённую сумму цифр. Чему может быть равна полученная разность? Выберите все подходящие варианты:
66
123
445
570
636
924
Ответ: 123; 570
№3.2
Из трёхзначного числа вычли учетверённую сумму цифр. Чему может быть равна полученная разность? Выберите все подходящие варианты:
66
159
243
524
663
927
Ответ: 243; 663
№3.3
Из трёхзначного числа вычли учетверённую сумму цифр. Чему может быть равна полученная разность? Выберите все подходящие варианты:
63
145
291
369
546
927
Ответ: 291; 369
№3.4
Из трёхзначного числа вычли учетверённую сумму цифр. Чему может быть равна полученная разность? Выберите все подходящие варианты:
60
309
450
476
564
921
Ответ: 309; 564
4. AB и CD — диаметры окружности ω, CE — высота треугольника ABC. Оказалось, что 4AE = 3EB. Найдите площадь треугольника CDE, если площадь треугольника ABC равна 133.
Ответ: 19
№4.2
AB и CD — диаметры окружности ω, CE — высота треугольника ABC. Оказалось, что 2AE = EB. Найдите площадь треугольника CDE, если площадь треугольника ABC равна 138.
Ответ: 46
№4.3
AB и CD — диаметры окружности ω, CE — высота треугольника ABC. Оказалось, что 3AE = 2EB. Найдите площадь треугольника CDE, если площадь треугольника ABC равна 135.
Ответ: 27
№4.4
AB и CD — диаметры окружности ω, CE — высота треугольника ABC. Оказалось, что 5AE = 3EB. Найдите площадь треугольника CDE, если площадь треугольника ABC равна 132.
Ответ: 33
5. Двое играют в игру, делая ходы по очереди. На столе лежит n монет. За один ход разрешается снять со стола 1, 2, 3 или 8 монет. Выигрывает тот, кто снимет последнюю монету. При каких n первый игрок может выиграть независимо от ходов другого игрока? Выберите все подходящие варианты:
53
54
55
56
57
58
Ответ: 53; 55; 56; 57
№5.2
Двое играют в игру, делая ходы по очереди. На столе лежит n монет. За один ход разрешается снять со стола 1, 2, 5 или 9 монет. Выигрывает тот, кто снимет последнюю монету. При каких n первый игрок может выиграть независимо от ходов другого игрока? Выберите все подходящие варианты:
62
63
64
65
66
67
Ответ: 62; 64; 65; 67
№5.3
Двое играют в игру, делая ходы по очереди. На столе лежит n монет. За один ход разрешается снять со стола 1, 3, 6 или 8 монет. Выигрывает тот, кто снимет последнюю монету. При каких n первый игрок может выиграть независимо от ходов другого игрока? Выберите все подходящие варианты:
83
84
85
86
87
88
Ответ: 84; 86; 87; 88
№5.4
Двое играют в игру, делая ходы по очереди. На столе лежит n монет. За один ход разрешается снять со стола 1, 4, 6 или 9 монет. Выигрывает тот, кто снимет последнюю монету. При каких n первый игрок может выиграть независимо от ходов другого игрока? Выберите все подходящие варианты:
74
75
76
77
78
79
Ответ: 74; 76; 78; 79
6. Рассмотрим последовательность натуральных чисел 1, 2, …, 61, 62. На каждом шаге будем вычёркивать числа, находящиеся на местах с номерами 1, 4, 7, … (шаг равен 3). Какое число останется в самом конце? Например, если изначально были числа 1, 2, 3, 4, то после первого шага останутся 2, 3; после второго — 3.
Ответ: 62.
7. Пусть точка K — середина стороны AD квадрата ABCD, точка L лежит на стороне AB, причём AL : LB = 1 : 3. Отрезки CL и BK пересекаются в точке M. Найдите произведение LM · MC, если сторона квадрата равна 4.
Ответ: 600/121
8. Пусть Aₙ = aa…a (n цифр), то есть число, состоящее из n цифр a, где a ≠ 0. Аналогично Bₙ = bb…b (n цифр) и C₂ₙ = cc…c (2n цифр), где b ≠ 0 и c ≠ 0. Какие значения может принимать a + b + c, для которых существует хотя бы два таких значения n, что C₂ₙ − Bₙ = 9Aₙ²?
Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 4, 14
