1 Ответ
Задание 1. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 64. Найдите длину её средней линии.
ответ = 16
Задание 2. На координатной плоскости изображены векторы a и b, координаты которых целые числа. Найдите длину вектора a + b.
ответ =
Задание 3. В правильной четырёхугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ ребро AA₁ равно 6, а диагональ BD₁ равна 10. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через точки A, A₁ и C.
ответ = 48
Задание 4. На борту самолёта 12 кресел расположены рядом с запасными выходами и 18 — за перегородками, разделяющими салоны. Все эти места удобны для пассажира высокого роста. Остальные места неудобны. Пассажир В. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру В. достанется удобное место, если всего в самолёте 300 мест.
Решение:
Всего мест: 300.
Удобных мест:
12+18=30.
Вероятность:
P = 30/300 = 0,1
Ответ: 0,1.
Задание 5. По отзывам покупателей Пётр Петрович оценил надёжность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,93. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,94. Пётр Петрович заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что товар доставит только один интернет-магазин.
Решение:
Вероятность того, что товар доставит только один магазин, равна:
доставит А и не доставит Б:
0,93⋅(1−0,94)=0,93⋅0,06=0,0558
доставит Б и не доставит А:
0,94⋅(1−0,93)=0,94⋅0,07=0,0658
Складываем:
0,0558 + 0,0658 = 0,1216
Ответ: 0,1216.
Задание 6. Найдите корень уравнения log₈(2^(8x − 4)) = 4.
ответ = 2
Задание 7. Найдите значение выражения b^(1/4) · (b^(1/4))³ при b = 7.
ответ = 7
Задание 8. На рисунке изображён график функции y = f(x), определённой на интервале (−10; 3). Найдите количество решений уравнения f′(x) = 0 на отрезке [−7; 2].
ответ =
Задание 9. Груз массой 0,02 кг колеблется на пружине. Его скорость v меняется по закону v = v₀ cos(2πt/T), где t — время с момента начала колебаний, T = 2 с — период колебаний, v₀ = 0,5 м/с. Кинетическая энергия E (в джоулях) груза вычисляется по формуле E = mv²/2, где m — масса груза (в килограммах), v — скорость груза (в м/с). Найдите кинетическую энергию груза через 50 секунд после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.
ответ = 0,0025 Дж
Задание 10. Две бригады, состоящие из рабочих одинаковой квалификации, одновременно начали выполнять два одинаковых заказа. В первой бригаде было 20 рабочих, а во второй — 22 рабочих. Через 10 дней после начала работы в первую бригаду перешли 3 рабочих из второй бригады. В итоге оба заказа были выполнены одновременно. Найдите, сколько дней потребовалось на выполнение заказов.
Решение:
Пусть один рабочий за день делает 1 единицу работы.
За первые 10 дней:
1-я бригада:
20⋅10=200 единиц
22⋅10=220 единиц
После перехода рабочих:
в 1-й стало 23 рабочих
во 2-й стало 19 рабочих
Пусть после этого прошло ещё x дней.
Так как заказы одинаковые и закончились одновременно, то за всю работу обе бригады сделали одинаковый объём:
200+23x=220+19x
23x−19x=220−200
4x=20
x=5
Всего дней:
10+5=15
Ответ: 15.
Задание 11. На рисунке изображены графики функций f(x) = a√x и g(x) = kx + b, которые пересекаются в точке A. Найдите абсциссу точки A.
ответ =
Задание 12. Найдите точку минимума функции y = (x + 2)²(x − 7) + 14.
ответ = 4
Задание 13.
а) Решите уравнение cos x · sin(7π/10) + sin x · sin(π/5) = 0,5.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [11π/2; 13π/2].
ответ = а) 8π/15+2πk-2π/15+2πk, k∈Z. б) 88π/15
Задание 14. В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 12 и BC = 5√3. Боковые рёбра пирамиды: SA = 5, SB = 13, SD = 10.
а) Докажите, что SA — высота пирамиды SABCD.
б) Найдите расстояние от точки A до плоскости SBC.
ответ = а) доказано, что SA⊥(ABCD). б) 60/13
Задание 15. Решите неравенство (x + 1) · 3^(2x + 1) · (2^(2x) / (8(x + 1))) ≤ 81 · 6^(1 − 2x²).
ответ = [−2;−1)∪(−1;1]
Задание 16. Предприятие выставило на продажу на бирже 1000 своих акций. Акции планируется продать двумя пакетами по 500 штук или четырьмя пакетами по 250 штук. Для быстроты продаж решено установить скидку 20 % на каждую десятую акцию пакета и скидку 25 % на каждую тринадцатую акцию пакета. Если на какую-то акцию при продаже будут действовать две скидки, то применяется та, которая больше. Найдите разницу между суммами (в рублях), которые можно получить от продажи со скидками всех акций двумя пакетами и от продажи со скидками всех акций четырьмя пакетами, если стоимость одной акции 10 000 рублей.
ответ = разница: 9622000−9618000=4000
Ответ: 4000 руб.
Задание 17. В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC меньшая диагональ AC является биссектрисой угла C и равна √6. Точка H — середина этой диагонали.
а) Докажите, что треугольники ABC и DHA подобные.
б) Найдите длину большего основания трапеции, если её средняя линия равна 6.
ответ = а) доказано. б) 6+ корень 33
Задание 18. Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
|x| + log_a(y² + 1) = 2,
log₂(x + 2a) + 2|y| = 2
имеет единственное решение.
ответ = 3
Задание 19. Числовая последовательность состоит из натуральных чисел, причём каждый следующий её член либо в 5 раз больше, либо в 5 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 181.
а) Может ли такая последовательность состоять из трёх членов?
б) Может ли число 125 являться членом такой последовательности?
в) Какое наибольшее количество членов может быть в такой последовательности?
ответ =
а) Нет.
б) Да.
в) 61