1 Ответ
1. Арифметическая прогрессия 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎11 такова, что 𝑎2 + 𝑎4 = 20 и 𝑎1 ⋅ 𝑎3 = 40. Найдите значение 𝑎11.
Ответ: 34
2. По кругу лежат 900 шаров. Каждый шар окрашен в один из трёх цветов—синий, красный или зелёный. Известно, что среди любых четырёх подряд идущих шаров есть шары всех трёх цветов. Кроме того, никакой красный шар не соседствует с зелёным. Сколько синих шаров может быть?
Ответ: 450.
3. Дан выпуклый четырехугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷, в котором ∠𝐴𝐵𝐶 = ∠𝐴𝐷𝐶 = 90∘. Оказалось, что 𝐴𝐵 ∶ 𝐵𝐶 ∶ 𝐶𝐷 = 7 ∶ 6 ∶ 2, а площадь четырёхугольника равна 120. Найдите периметр четырёхугольника.
Ответ: 48
4. У Коли есть три стопки с монетами: в одной — 30, в другой — 18, в третьей — 45 монет. Он перекладывает монеты между кучками. На очередном шаге он должен выбрать стопку с нечётным количеством монет, забрать оттуда две монеты и положить по одной в две другие кучки. Какое наибольшее количество монет Коля сможет собрать в одной стопке?
Ответ: 88
Решение:
В одной кучке 1 монета, а в другой 2 быть не могло, т.к. 1 и 2 дают разные остатки при делении на 3. Значит, в двух кучках суммарно не менее 5 монет, т.е. в третьей не более
30 + 18 + 45 − 5 = 88 монет.
5. У Зевса есть карточки с цифрами 1, 2, 3, 4, 5. Он случайным образом составляет из них число вида ОЛИМП. Какова вероятность, что полученное число будет заканчиваться на 1?
Ответ: 17/60
6. Треугольники 𝐴𝐵𝐶 и𝐴𝐷𝐸 расположены на координатной плоскости так, что 𝐵 = (0;0), 𝐶 = (123;0), 𝐷 = (800;600) и 𝐸 = (810;610), а их площади равны 1234 и 5678 соответственно. Чему равна сумма всех возможных абсцисс точки 𝐴?
Ответ: 800