1 Ответ
5 класс:
Задание 1. Дама сдавала в багаж рюкзак, чемодан, саквояж, корзину. Чемодан весит больше, чем рюкзак. Саквояж и рюкзак вместе весят больше, чем чемодан и корзина вместе, а корзина и саквояж вместе весят столько же, сколько чемодан и рюкзак. Какая из вещей самая тяжелая, а какая самая легкая?
ответ = Самая тяжелая — саквояж, самая легкая — корзина.
Задание 2. Среди 4 монет одна фальшивая. Масса настоящих монет – по 5 г. Фальшивая отличается весом, однако неизвестно легче она или тяжелее настоящей. Есть ещё одна гиря весом 5 г. За какое минимальное число взвешиваний на чашечных весах без гирь Вы сможете
найти фальшивую монету?
ответ = Минимальное число взвешиваний = 2
Задание 3. Можно ли числа от 1 до 23 разбить на две группы так, что сумма чисел в одной группе на 23 больше суммы чисел в другой группе?
ответ = Невозможно, так как сумма целых чисел должна быть целой.
Задание 4. Часы неисправны, но стрелки движутся равномерно. На сколько часов они спешат или отстают за сутки, если трижды в сутки показывают правильное время?
ответ = спешат на 36 часов в сутки.
Задание 5. Какое наибольшее частное может получиться при делении трёхзначного числа на его сумму цифр?
ответ = 100
6 класс:
Задание 1. Есть 6 прутьев длиной 1 метр каждый. Можно ли их распилить на 10 прутьев длиной по 27 см, 12 прутьев длиной по 15 см и 25 прутьев длиной по 6 см?
ответ = Поскольку все длины кратны 3 см (27, 15, 6), а 100 не кратно 3, то из прута 100 см невозможно набрать сумму, кратную 3, без остатка:
100 mod 3 = 1.
Сумма длин в каждом пруте должна быть 100, но сумма длин 27a+15b+6c должна быть ≡ 100 (mod 3).
27a ≡ 0 mod 3, 15b ≡ 0 mod 3, 6c ≡ 0 mod 3, значит сумма ≡ 0 mod 3, но 100 ≡ 1 mod 3. Противоречие.
Ответ: нет
Задание 2. Найдите все двузначные числа М такие, что любая степень М оканчивается двумя цифрами, составляющими число М.
ответ = Другие: M=00, M=01, M=25, M=76 — из решения M(M-1) кратно 100.
Двузначные: 25 и 76.
Ответ: 25, 76
Задание 3. Все жители города ПРАВДИНО всегда говорят правду, все жители города БРЕХНЯЕВО всегда лгут. Жители ПРАВДИНО любят посещать БРЕХНЯЕВО, жители БРЕХНЯЕВО любят посещать ПРАВДИНО. Путешественник попал в один из этих городов, но никак не может вспомнить в какой. Навстречу ему идёт первый встречный. Как путешественнику задать один вопрос и определить в какой город он попал?
ответ = Вопрос: «Вы местный?»
Разбор:
Пусть он в Правдино (все правдивы).
Спросит у местного: «Вы местный?» — ответ «да».
Спросит у приезжего из Брехняево (лжец): «Вы местный?» — он не местный, но солжет → скажет «да».
В Брехняево (все лгут):
Спросит у местного: «Вы местный?» — он местный, но солжет → «нет».
Спросит у приезжего из Правдино (правдив): «Вы местный?» — нет → «нет».
Итак:
В Правдино любой встречный ответит «да».
В Брехняево любой встречный ответит «нет».
По ответу можно определить город.
Ответ: «Вы местный?»
Задание 4. Общий вес нескольких ящиков груза равен 10 т, вес каждого ящика не превышает 1 т. Какое наименьшее количество грузовиков трёхтонок надо, чтобы вывезти весь груз за один раз?
ответ = 10 т, ящик ≤ 1 т. Грузовики 3 т.
Минимальное число:
Если все ящики по 1 т, то 10 ящиков.
В один грузовик влезает 3 ящика по 1 т (3 т).
10/3 = 3 грузовика + 1 ящик останется → 4 грузовика.
Проверим, можно ли 3 грузовиками:
3×3=9 т, осталось 1 т — но ящики ≤1 т, значит можно ли упаковать 10 т в 3 машины?
Например: 3+3+4 не может быть, т.к. 4 т в одну нельзя.
Максимум в одну 3 т.
10 т / 3 т/маш = 4 машины необходимо.
Ответ: 4
Задание 5. В клетки квадратной таблицы размером 7×7 вписаны числа от 1 до 7, в каждой строке и в каждом столбце имеются все числа от 1 до 7. Кроме того, таблица заполнена числами симметрично относительно одной из своих главных диагоналей. Докажите, что на этой диагонали есть все числа от 1 до 7.
ответ = Таблица 7х7 — латинский квадрат порядка 7.
Симметрия относительно главной диагонали: Qij = aji.
Докажем, что на диагонали все числа 1.7.
Предположим, что на диагонали нет какого-то числа к.
Тогда к встречается только вне диагонали.
Но если dij = k u i + j, то из симметрии aji = k.
То есть к встречается парами симметрично.
Число клеток вне диагонали: 7 x 7 — 7 = 42, они разбиваются на 21 пару симметричных клеток.
Если к нет на диагонали, то к встречается только в этих парах, значит количество вхождений к
чётное.
Но в каждой строке к встречается ровно 1 раз (латинский квадрат), всего строк 7 => к встречается 7
раз (нечётное).
Противоречие.
Значит, каждое число к встречается на диагонали нечётное число раз (минимум 1 раз).
Поскольку диагональных клеток 7 и чисел 7, то каждое число встречается на диагонали ровно 1 раз.
Ответ: Доказано.
