По кругу расставили числа от 1 до 11. Докажите, что найдутся три числа подряд, сумма которых больше 19?

Предположим, что не существует трех подряд идущих чисел, сумма которых больше 19. Это означает, что сумма любых трех соседних чисел не превосходит 19.
Рассмотрим все 11 групп из трех подряд идущих чисел. Сумма чисел в каждой группе не превышает 19. Следовательно, сумма всех этих 11 групп не превышает 11 * 19 = 209.
Однако, если мы сложим все эти 11 групп, мы посчитаем каждое число ровно три раза (потому что каждое число входит в три разные группы). Таким образом, сумма всех этих 11 групп равна 3 * (1 + 2 + … + 11).
Сумма чисел от 1 до 11 равна (11 * 12) / 2 = 66. Значит, 3 * 66 = 198.
Получается, что 198 ≤ 209, что не приводит к противоречию. Но предположим, что сумма каждых трех чисел строго меньше или равна 19.
Тогда сумма всех 11 групп будет строго меньше или равна 11 * 19 = 209.
Это означает, что 3 * (1 + 2 + … + 11) < 209
3 * 66 < 209
198 < 209
Теперь, давайте предположим, что максимальная сумма трех чисел подряд равна 19. Это значит, что хотя бы одна сумма должна быть 19. В этом случае, 198 = 209. Что является противоречием.
Следовательно, наше первоначальное предположение неверно, и обязательно найдутся три числа подряд, сумма которых больше 19.