В строку выписаны числа 1, 2, 3, … , 60 (ровно в таком порядке). Игорь и Руслан по очереди ставят знаки +, — и х между ними, начинает Игорь; за ход каждый ставит один знак. Когда между каждыми двумя соседними числами поставлен знак, вычисляется значение полученного выражения. Если оно делится на 3, то победа присуждается Игорю, иначе Руслану. Кто из игроков может выиграть, независимо от действий соперника?
1 Ответ
Остатки чисел по модулю 3:
Последовательность 1,2,0,1,2,0,…,1,2,0 (20 единиц, 20 двоек, 20 нулей).
Ключевое наблюдение:
Если в итоговом выражении количество двоек нечётное, результат не делится на 3 (так как
2k≡2 (mod 3) при нечётном k).
Если чётное, то возможно делится (зависит от операций).
Стратегия Игоря:
Игорь ходит первым и делает последний (30-й) ход.
Он может контролировать чётность числа умножений на 2, выбирая между +/- и ×.
Например, если Руслан добавляет умножение на 2, Игорь может компенсировать, выбирая другую операцию.
Итог:
Игорь всегда может добиться, чтобы число умножений на 2 было чётным, и тогда результат будет делиться на 3.
Ответ: Игорь.
