Толя загадал натуральное число n и выписал на доску все натуральные числа от 1 до n. Затем
он попытался сложить все выписанные числа и получил число 880, однако выяснилось, что ровно одно из выписанных чисел он случайно добавил дважды. Чему могло равняться n?
1 Ответ
Решение:
Пусть S — сумма всех чисел от 1 до n, тогда S = n(n+1)/2.
Пусть x — число, которое Толя добавил дважды. Тогда полученная сумма равна S + x = 880.
Значит, n(n+1)/2 + x = 880.
Так как 1 <= x <= n, то S <= 880 <= S + n.
n(n+1)/2 <= 880 <= n(n+1)/2 + n
Умножим все части неравенства на 2:
n(n+1) <= 1760 <= n(n+1) + 2n
n(n+1) <= 1760 <= n(n+3)
Оценим значение n. Т.к. 40^2 = 1600 и 41^2 = 1681, то можно предположить, что n близко к 40.
Проверим n = 40:
40 * 41 = 1640 <= 1760
40 * 43 = 1720 <= 1760
Проверим n = 41:
41 * 42 = 1722 <= 1760
41 * 44 = 1804 > 1760
Значит, n = 41.
n(n+1)/2 = 4142/2 = 4121 = 861.
861 + x = 880
x = 880 — 861 = 19
1 <= x <= n, т.е. 1 <= 19 <= 41. Это верно.
Проверим n = 40:
4041/2 = 2041 = 820
820 + x = 880
x = 60
Но x <= n, т.е. x <= 40. Это неверно.
Ответ: 41