Петр, Борис, Виталий, Григорий, Дмитрий и Сергей. Сколько всего было сделано рукопожатий?

Решение:
Каждое рукопожатие — это пара двух разных людей.
Порядок не важен (рукопожатие «Петр-Борис» — это то же самое, что «Борис-Петр»).
Количество рукопожатий равно количеству способов выбрать 2 человека из 6, что вычисляется по формуле сочетаний:
C(n,2)= n!/2!(n−2)!
где n=6 (общее количество людей).
​C(6,2)=6!/2!⋅4!=6×5×4!/2×1×4!=30/2=15
Проверим перебором (для наглядности):
Петр жмёт руку Борису, Виталию, Григорию, Дмитрию, Сергею → 5 рукопожатий.
Борис (уже учтено рукопожатие с Петром) жмёт руку Виталию, Григорию, Дмитрию, Сергею → 4 новых рукопожатия.
Виталий (уже учтены рукопожатия с Петром и Борисом) жмёт руку Григорию, Дмитрию, Сергею → 3 новых рукопожатия.
Григорий (уже учтены рукопожатия с Петром, Борисом, Виталием) жмёт руку Дмитрию, Сергею → 2 новых рукопожатия.
Дмитрий (уже учтены рукопожатия с Петром, Борисом, Виталием, Григорием) жмёт руку Сергею → 1 новое рукопожатие.
Сергей уже учёл все рукопожатия с остальными.
Итого: 5+4+3+2+1=15 рукопожатий.
Ответ: 15