Все вершины шестиугольников раскрасили, каждую — в чёрный или белый цвет. Как доказать, что найдутся 3 одноцветные вершины, образующие равносторонний треугольник?

Пусть есть три вершины, которые образуют равносторонний треугольник, а все остальные вершины шестиугольника не имеют цветности и их можно покрасить в те же цвета, что и вершины равностороннего треугольника. Тогда найдётся вершина, все цвета которой отличаются от выбранных. Из неё выйдет одна из вершин равностороннего треугольника и, наконец, ещё одна вершина равностороннего треугольника получится из вершины с разными цветами и трёх разноцветных вершин. Заметим, что для всех вершин решётки (кроме одной) существует ровно один такой треугольник, поэтому достаточно доказать, что найдётся треугольник с вершинами в вершинах решётки и сторонами, параллельными сторонам решётки. Назовём его треугольником с равными сторонами. Тогда, если сторона треугольника с равными сторонами параллельна какой-либо стороне решётки, то параллельна она и этой вершине. Прежде всего, все вершины надо разбить на пары так, чтобы у каждой пары одна сторона была чёрной, а другая — белой. Затем нужно взять одну из пар, на которой уже нет чёрных. Пусть это будет вершина В1. Возьмём теперь вершину В2 и возьмём вершину С1. После этого мы сможем найти только те вершины А1, А2, А3 и В1, В2, В3, которые не лежат на одной прямой с В2.
Две вершины нужно взять в вершинах А и В и третью — в вершине С.