Три числа таковы, что куб суммы любых двух из них равен сумме их кубов. Как доказать, что среди этих чисел есть ноль?

Три числа таковы, .. доказательство —

Обозначим числа х, y, z.

Допустим, среди них нет нуля.

По условию 0 = (x³ + y³) — (x + y)³ = (x + y)(x² — x y + y² — (x + y)²) = -3xy(x + y).

Учитывая, что х и y не нули, значит х + y = 0, то есть х = -y.

Также доказываем, что y = — z и z = -х.

Но в таком случае х = -y = -(- z) = z и -z = z, отсюда z = 0.

Мотоциклист был в пути три часа (какое-то время он мог и стоять). Его средняя скорость в первые два часа равнялась 50 км/ч и в последние два часа — тоже 50 км/ч. Какое наибольшее расстояние он мог преодолеть?

Ответ: 200 км

Вася хочет несколько раз выписать в строчку число 12345 так, чтобы получившееся многозначное число делилось на 41. Какое наименьшее число раз ему нужно это сделать?

Ответ: 41

В классе каждый ученик дружит ровно с шестью другими, и у любых двух учеников есть ровно два общих друга. Сколько учеников в этом классе?

Ответ: 16

Шестиугольник, все углы которого меньше 180 градусов, таков, что каждый треугольник, образованный тремя идущими подряд его вершинами, имеет площадь 1. Докажите, что площадь этого шестиугольника не меньше 6.

Доказательство ниже