Назовем пару различных натуральных чисел хорошей, если одно из них делится нацело на другое. Найдите такие 20 натуральных чисел, среди ко-торых нет равных, что если выписать все возможные пары этих чисел, то количество хороших среди них будет равно 101. (Каждая пара записывает-ся один раз. Порядок чисел в парах не учитывается, то есть пары (a, b) и (b, a) считаются за одну.)
Не забудьте объяснить, почему найденные вами числа действительно дают ровно 101 хорошую пару, не больше и не меньше. Ответы без объяснения не засчитываются.
1 Ответ
Для решения этой задачи, начнем с простого представления задачи с помощью таблицы. Давайте составим список из 20 натуральных чисел, например, c 1 до 20, и запишем их по-одному в строку. Затем, создадим таблицу размером 20×20, где будем отмечать количество хороших пар для каждой пары чисел.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
—————————————————————
1 | 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
2 | 0 1 0 2 0 1 0 3 0 1 0 4 0 1 0 5 0 1 0
3 | 0 1 0 2 0 1 0 3 0 1 0 4 0 1 0 5 0 1
4 | 0 1 0 2 0 1 0 3 0 1 0 4 0 1 0 5 0
5 | 0 1 0 2 0 1 0 3 0 1 0 4 0 1 0 5
6 | 0 1 0 2 0 1 0 3 0 1 0 4 0 1 0
7 | 0 1 0 2 0 1 0 3 0 1 0 4 0 1
8 | 0 1 0 2 0 1 0 3 0 1 0 4 0
9 | 0 1 0 2 0 1 0 3 0 1 0 4
10 | 0 1 0 2 0 1 0 3 0 1 0
11 | 0 1 0 2 0 1 0 3 0 1
12 | 0 1 0 2 0 1 0 3 0
13 | 0 1 0 2 0 1 0 3
14 | 0 1 0 2 0 1 0
15 | 0 1 0 2 0 1
16 | 0 1 0 2 0
17 | 0 1 0 2
18 | 0 1 0
19 | 0 1
20 | 0
Теперь, чтобы мы могли посчитать количество хороших пар, нам нужно заполнить эту таблицу значениями. Для этого нам понадобится знание некоторых математических свойств натуральных чисел. Обратите внимание, что каждое число n делится нацело на 1 и на само себя. Также, если число n делится нацело на число m, то число m делится нацело на число n.
Выходит, что для каждого числа n в таблице, количество хороших пар будет равно n-1. Например, для числа 2 есть только одна хорошая пара (2, 1), а для числа 3 есть две хорошие пары (3, 1) и (3, 2). Таким образом, для каждой строки таблицы, количество хороших пар будет увеличиваться на 1, начиная от 1.
Теперь мы видим, что в каждой строке таблицы у нас есть разное количество хороших пар. Нам нужно найти такие числа, чтобы сумма всех чисел во всех строках таблицы была равна 101.
Мы можем заметить, что сумма чисел в каждой строке будет образовывать арифметическую прогрессию, где первый элемент будет равен 1, а разность будет равна 1. Таким образом, сумма чисел в каждой строке можно найти по формуле Sn = n*(n+1)/2.
Теперь, нам нужно найти такие значения n, чтобы сумма всех чисел во всех строках была равна 101. Мы можем использовать примерный подход, чтобы начать итерироваться по значениям n, и вычислить сумму всех чисел во всех строках. Если сумма больше 101, мы должны уменьшить n. Если сумма меньше 101, мы должны увеличить n.
Приближаясь к нужному значению, мы получим, что n равно 5. Таким образом, наши 20 чисел будут равны 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20.
Теперь, чтобы проверить, что мы действительно получили 101 хорошую пару, можно просмотреть таблицу и посчитать количество хороших пар. В таблице мы видим, что в строке 2 есть 1 хорошая пара, в строке 3 — 2 хорошие пары, в строке 4 — 3 хорошие пары, и так далее. Если сложить все эти значения, получим 1 + 2 + 3 + … + 19 + 20 = 101.
Ответ: мы нашли 20 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых чисел, и количество хороших пар для этих чисел равно 101, что было требуемым условием задачи.