Дан набор, состоящий из 100 различных чисел. Как доказать, что их произведение в наборе положительно?

Доказательство:

1. Заметим, что сумма всех чисел в наборе равна n(n-1)/2, где n — количество чисел в наборе. Действительно, каждое число входит в эту сумму n-1 раз, а всего имеется n чисел.
2. Теперь рассмотрим набор после замены каждого числа на сумму всех остальных. Сумма всех чисел осталась прежней, так как мы просто переставили слагаемые.
3. Отсюда следует, что сумма всех исходных чисел и сумма всех новых чисел равны между собой, то есть исходное состояние набора восстановилось. Это значит, что замена каждого числа на сумму остальных не меняет набор.
4. Поскольку произведение каждого числа на набор равно произведению всех чисел, то при замене каждого числа на их сумму произведение не меняется. Значит, произведение всех чисел после замены остается положительным.
5. Но после замены получается тот же самый набор чисел, что и исходный. Значит, исходное произведение тоже положительно.

Что и требовалось доказать.