Как доказать, что либо все мальчики, либо все девочки встретились друг с другом?

Рассмотрим множество всех учеников класса. По условию каждый мальчик встречал на катке хотя бы одну девочку. Значит, все девочки были встречены хотя бы одним мальчиком. Если бы все девочки встречались только с одним и тем же мальчиком, то этот мальчик встретил бы всех девочек, но тогда все остальные мальчики не встретили бы ни одной девочки, что противоречит условию. Следовательно, все девочки встречались с разными мальчиками, т.е. со всеми мальчиками. Что и требовалось доказать.