Найдите все такие положительные 𝑥, что последовательность {𝑥}, [𝑥], 𝑥 является геометрической прогрессией.
Примечание. [𝑥] — это целая часть числа 𝑥, то есть наибольшее целое число, не превосходящее 𝑥; {𝑥} — дробная часть числа 𝑥, то есть разность между 𝑥 и его целой частью.
1 Ответ
Все положительные числа 𝑥, удовлетворяющие условию, можно найти из соотношения:
{𝑥}=𝑘[𝑥],
где 𝑘 — знаменатель геометрической прогрессии. Раскрыв определения {𝑥} и [𝑥], получим:
(𝑥 — [𝑥]) = 𝑘 [𝑥].
Так как левая часть этого равенства — дробная часть 𝑥, а правая — целая часть, это равенство будет выполняться только тогда, когда 𝑥 равно целому числу. Подставим 𝑥 = [𝑥]:
𝑥 — 𝑥 = 𝑘𝑥.
Отсюда получаем, что 𝑘 = 1/(𝑥 + 1). Так как 𝑘 должно быть положительным числом, 𝑥 должно быть больше -1.
Ответ: все положительные числа, большие -1.