Можно ли разрезать какой-нибудь квадрат на 12 квадратов пяти различных размеров?

Если обозначить количество квадратов каждого размера за переменную, то мы получим уравнение с пятью неизвестными:

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 12

где x1, x2, x3, x4, x5 — количество квадратов каждого из пяти размеров.

Поскольку в условии задачи требуется, чтобы все пять размеров встречались хотя бы один раз, то все переменные должны быть больше или равны единице.

Но решение этого уравнения в натуральных числах не представляется возможным. Это можно доказать, используя метод перебора:

1. Если x1 = 1, то x2 <= 4, x3 <= 3, x4 <= 2, x5 <= 1. Итого максимальное значение x1 + x2 + … + x5 равно 10, что меньше 12.
2. Если x2 = 2, то x1 <= 3, x3 <= 2, x4 <= 1, x5 = 0. Итого максимальное значение равно 9, что также меньше 12. Аналогично для x3 и x4.

3. Если x5 = 5, то x1 = x2 = x3 = x4 = 1. В этом случае сумма равна 5 < 12, и нет возможности добавить еще одного квадрата.

Таким образом, не существует квадратов пяти различных размеров, на которые можно было бы разрезать один квадрат.