Через середину М стороны CD прямоугольника ABCD проведена прямая, пересекающая сторону AD в точке К, а луч BС в точке L. Известно, что KМ = 10, а MD = 6.
Также проведена окружность w1 радиусом 15 с центром в точке К и окружность w2 радиусом 25 с центром в точке L. Оказалось, что одна из точек пересечения w1 и w2 и пежит на луче АВ.
Найдите расстояние от точки А до общей точки окружностей w1, w2 и луча АВ.
1 Ответ
Пусть точка пересечения окружностей, которая лежит на луче AB, будет точка E. Тогда AE — искомое расстояние.
Рассмотрим треугольник AKM. Так как KM — средняя линия треугольника ACD, то AM = MD/2 = 3. По теореме Пифагора находим AK:
AK^2 = AM^2 + KM^2
AK^2 = 9 + 100 = 119
AK = sqrt(119)
Теперь рассмотрим треугольник ALB. Так как LB = AB = 2*AL, то треугольник ALB — равнобедренный. Следовательно, угол BAL = углу ALB = 45°.
Найдем радиус окружности w2:
RL = AL^2 — R^2 = (25)^2 — (24)^2 = 509
Так как радиусы окружностей равны, то треугольник EAL — равнобедренный, и угол EAL = углу LAE = 45° — 45/2 = 22.5°.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ALE. Найдем LE по теореме косинусов:
LE^2 = AL^2 + AE^2 — 2 * AL * AE * cos(22.5°)
Подставляя значения AL и AE, получаем квадратное уравнение относительно AE:
AE^2 — sqrt(119)*AE + 508 = 0
Решая данное уравнение, находим:
AE = (sqrt(119)/2) ± sqrt(((sqrt(119))/2)^2 — 508)
AE1 = 12.5
AE2 = 4.1
Поскольку AE не может быть меньше 0, то ответ равен AE1 = 12.5.