У Коли есть 100 монет и доска m х n, где m > n и m > 1. Он разложил все монеты в клетки доски так, что в любых двух соседних по стороне клетках суммарно оказалось ровно 10 монет (в каких-то клетках могло оказаться несколько монет, а какие-то клетки могли оказаться пустыми). Какие значения может принимать m? Укажите все возможные варианты.
Arnfinn ответил на вопрос 17.10.2023
1 Ответ
Если у нас есть доска размером m x n, и мы раскладываем монеты так, чтобы в двух соседних клетках было ровно 10 монет, то количество монет в каждой строке и столбце должно быть четным. Тогда количество монет на всей доске должно быть кратно mn.
Поскольку у Коли есть всего 100 монет, мы можем перебрать все возможные значения mn, кратные 100, и найти подходящие пары m и n.
- Если mn = 100 (т.е. m = 10, n = 10), то m и n удовлетворяют условиям.
- Если mn > 100, то хотя бы одна из величин m или n должна быть больше 10. Но тогда в соответствующей строке или столбце будет больше 10 клеток, и нельзя будет разместить по 10 монет в каждой паре соседних клеток.
- Если mn < 100, то как минимум одна из величин m или n будет меньше 10. Тогда в соответствующей строке или столбце не хватит клеток для размещения всех монет.
- Таким образом, возможны только следующие пары (m, n): (10, 10) и (5, 20).
Arnfinn ответил на вопрос 17.10.2023