Два игрока, Павел и Василий, играют в игру. Перед ними лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Павел. За один ход игрок может добавить в кучу один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 30. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 30 или больше камней. У Павла есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть своим вторым ходом при любой игре Василия. При каком минимальном значении S это возможно? S – начальное количество камней в куче. В ответе запишите начальное число камней (число) и первый ход Павла (А или Б), обеспечивающий ему победу в игре. Примем условные обозначения: А — увеличили на 1; Б — увеличили в 2 раза. Ответ оформите как в примере. Пример: 9Б (с начальной позицией в 9 камней Павел выиграет при любом ходе Василия, если увеличит количество камней в куче в 2 раза за свой первый ход). Справочная информация: игрок имеет беспроигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.
1 Ответ
Выигрышная стратегия Павла:
Павел начинает с начального количества камней S.
Павел увеличивает количество камней в два раза за свой второй ход.
Если Василий увеличивает количество камней на 1, Павел продолжает увеличивать количество камней в два раза на каждом своем следующем ходе.
Если Василия увеличивает количество камней до 31, он проигрывает и Павел выигрывает.
В противном случае, если Василий увеличивает количество камней более чем на 1 на своем втором ходу, Павел выигрывает.
Для того чтобы определить минимальное значение S, при котором Павел может выиграть своей второй ход, рассмотрим следующие случаи:
Случай 1: S = 2k + 1 (где k — целое число)
Павел может начать с любого числа от 2 до 2k. Если Василий начинает с числа, большего, чем S, Павел увеличивает количество камней в 2 раза на своем первом ходу. Затем Павел продолжает увеличивать количество камней на каждом своем ходе до тех пор, пока количество камней не достигнет 31. Таким образом, минимальное начальное значение S равно 2.
Случай 2: S = 2k (где k — целое число).
Павел начинает со значения S. Если Василий увеличивает количество камней, Павел продолжает увеличивать его на каждом своем ходу до 31 или пока количество камней не станет равным 30, что означает, что Павел выиграл. Таким образом, минимальный начальный S равен 4.
Ответ: 4А.