Андрей выписал на доску 6 последовательных четырёхзначных чисел в строчку в порядке возрастания. Затем он под каждым из этих чисел написал один из его простых делителей, причём все выписанные простые делители оказались разными. После этого Андрей стёр исходные 6 чисел и пригласил в класс Бориса. Всегда ли Борис, видя выписанные на доску простые делители, сможет однозначно определить исходные числа?
1 Ответ
Решение. Обозначим наименьшее из изначально выписанных Андреем чисел через 𝑥.
Тогда следующие числа равны 𝑥 + 1, 𝑥 + 2, 𝑥 + 3, 𝑥 + 4, 𝑥 + 5 соответственно. Пусть их выписанные простые делители равны 𝑝0, 𝑝1, …, 𝑝5 соответственно. Предположим, что Борис не может однозначно восстановить числа Андрея. Это значит, что у него есть как минимум 2 кандидата на роль 𝑥. Обозначим другого кандидата через 𝑦. Тогда 𝑥 и 𝑦 делятся на 𝑝0, откуда 𝑥 − 𝑦 делится на 𝑝0. Аналогично 𝑥 + 1 и 𝑦 + 1 делятся на 𝑝1, откуда 𝑥− 𝑦 делится ещё и на 𝑝1. Продолжая таким образом рассуждения, получим, что 𝑥 − 𝑦 делится также и на 𝑝2, 𝑝3, 𝑝4
, 𝑝5. Следовательно, число 𝑥 − 𝑦 делится на 6 различных простых чисел, а значит, и на их произведение. Произведение 6 различных простых чисел не меньше, чем 2⋅3⋅5⋅7⋅11⋅13 = 30030. Но разность двух различных четырёхзначных чисел не может делиться на 30030, противоречие.