Даны два приведенных квадратных трехчлена f(x) и g(x); известно, что трехчлены f(x), g(x) и f(x) + g(x) имеют по два корня. Оказалось, что разность корней трехчлена f(x) равна разности корней трёхчлена g(x). Докажите, что разность корней трёхчлена f(x) + g(x) не больше этих разностей. (В каждой разности из большего корня вычитается меньший.)
1 Ответ
Решение:
Заметим, что разность корней приведённого квадратного трёхчлена x^2 + bx + c равна корню из его дискриминанта, то есть √b^2 − 4c.
Пусть два данных трёхчлена — это f(x) = x^2 + b1x + c1 и g(x) = x^2 + b2x + c2. Согласно условию, у них общий дискриминант D = b^2/1 − 4c1 = b^2/2 − 4c2. Вместо суммы трёхчленов удобно рассмотреть их полу сумму — она тоже является приведённым квадратным трёхчленом. Квадрат разности его корней (т.е. дискриминант) равен:
