В тетраэдре АВСD противоположные ребра попарно равны. Точки М, N и К – середины боковых ребер BD, AC и DC соответственно. Через точку К проведена секущая плоскость α, параллельная ребрам BD и АС.
А) Докажите, что прямая MN перпендикулярна секущей плоскости α.
Б) Найдите расстояние от точки М до плоскости α, если АС=BD=14, ВС=AD=13, АB=CD=15.
1 Ответ
Пусть прямая АМ параллельна секущей плоскости. Тогда точка М лежит на плоскости α и, следовательно, на одной из ее секущих плоскостей. Следовательно, точка М находится на пересечении двух секущих плоскости α – BD и AC. Но тогда, согласно теореме о трех перпендикулярах, прямая MN будет перпендикулярна к секущей BD. (Напомним, что в случае, когда секущие плоскости пересекаются, то одна из них является перпендикулярной к другой.)