1 Ответ
Задание 1. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 130, угол ABD равен 58. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.
ответ: 72
Задание 2. Даны векторы 𝑎⃗(17; 0) и 𝑏⃗(1; −1). Найдите длину вектора 𝑎⃗ − 12𝑏⃗.
ответ: 13
Задание 3. Шар вписан в цилиндр. Площадь полной поверхности цилиндра равна 36. Найдите площадь поверхности шара.
ответ: 24
Задание 4. В сборнике билетов по истории всего 40 билетов, в шести из них встречается вопрос по теме «Древняя Греция». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по теме «Древняя Греция».
ответ: 0.15
Задание 5. В коробке 9 синих, 6 красных и 10 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Найдите вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастеры.
ответ: 0.18
Задание 6. Найдите корень уравнения 3√x-6=2
ответ: 14
Задание 7. Найдите значение выражения log_0,8 50 − log_0,8 32.
ответ: -2
Задание 8. На рисунке изображён график 𝑦 = 𝑓′ (𝑥) — производной функции 𝑓 (𝑥), определённой на интервале (-9:3). В какой точке отрезка [-7;-1] функция f(x) принимает наибольшее значение?
ответ: -7
Задание 9. Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с фокусным расстоянием 𝑓 = 26 см. Расстояние d1, от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 25 см до 45 см, а расстояние d2 от линзы до экрана – в пределах от 175 см до 195 см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение 1/d1+1/d2=1/f. На каком наименьшем расстоянии от линзы нужно разместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким? Ответ дайте в сантиметрах.
ответ:
Задание 10. Расстояние между городами А и В равно 660 км. Из города А в город В выехал первый автомобиль со скоростью 60 км/ч, а через два часа после этого навстречу ему из города В выехал со скоростью 75 км/ч второй автомобиль. На каком расстоянии от города А они встретятся? Ответ дайте в км.
ответ: 360 км.
Задание 11. На рисунке изображён график функции вида 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥. Найдите значение 𝑓(−5).
ответ:
Задание 12. Найдите точку минимума функции y=x3/2−30𝑥+2.
ответ: 2 корень 5
Задание 13. а) Решите уравнение sin2x+√3sin(x-π)=0
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-7π/2; -2π]
ответ: x=πn,x=±π/6+2πk
б) −3π,− 13π/6,−2π
Задание 14. В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит параллелограмм ABCD с углом 60◦ при вершине A. На ребрах A1B1, B1C1 и BC отмечены точки M, K и N соответственно так, что AMKN — равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 4.
а) Докажите, что точка M — середина ребра A1B1.
б) Найдите высоту призмы ABCDA1B1C1D1, если её объем равен 16 и известно, что точка K делит ребро B1C1 в отношении B1K:KC1=1:3.
ответ:
Задание 15. Решите неравенство 2*4^x-2/2*4^x-2-1⩾7/4^x-1+40/16&^x-9*4^x+8
ответ: x>1
Задание 16. В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на четыре года в размере S млн рублей, где S — целое число. Условия его возврата таковы: – каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года; – с февраля по июнь каждого года необходимо одним платежом выплатить часть долга; – в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.
Найдите наибольшее значение S, при котором сумма всех платежей будет меньше 50 млн рублей.
ответ:
Задание 17. Прямая, перпендикулярная стороне AD ромба ABCD, пересекает его диагональ AC в точке M, а диагональ BD — в точке N. При этом AM:MC = 1:2, BN:ND=1:3.
а) Докажите, что cos ∠BAD = 1/5
б) Найдите площадь ромба, если MN = 5 √2.
ответ:
Задание 18. Найдите все значения 𝑎, при каждом из которых система уравнений имеет более двух различных решений.
{ (x^2+y^2+6x)*√y+x+6=0
{ y=x+a
ответ: −2<a<2
Задание 19. На сайте проводится опрос, кого из футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста — доля голосов, отданных за него, в процентах, округленная до целого числа. Например, числа 13,5, 16,3 и 31,7 округляются до 14, 16 и 32 соответственно.
а) Всего проголосовало 14 посетителей сайта. Мог ли рейтинг некоторого футболиста быть равным 23?
б) Пусть посетители сайта отдавали голоса за одного из трех футболистов. Могла ли сумма рейтингов быть больше 100?
в) На сайте отображалось, что рейтинг некоторого футболиста равен 6. Это число не изменилось и после того, как Вася отдал свой голос за этого футболиста. При каком наименьшем числе отданных за всех футболистов голосов, включая Васин голос, такое возможно?
ответ:
а) Нет
б) Да, пример: 1,1,4 из 6
в) 108 (наименьшее N)