1 Ответ
1. Угол 𝐴𝐶𝐵 равен 54°. Градусная мера дуги 𝐴𝐵 окружности, не содержащей точек 𝐷 и 𝐸 равна 138°. Найдите угол 𝐷𝐴𝐸. Ответ дайте в градусах.
Ответ: 15
2. На координатной плоскости изображены векторы 𝑎⃗ и 𝑏⃗⃗. Найдите скалярное произведение 𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗.
Ответ: 12
3. В цилиндрический сосуд налили 500 куб. см воды. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде увеличился в 1,2 раза. Найдите объём детали. Ответ выразите в куб. см.
Ответ: 100
4. На олимпиаде по русскому языку 350 участников разместили в трёх аудиториях. В первых двух удалось разместить по 140 человек, оставшихся перевели в запасную аудиторию в другом корпусе. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.
Решение:
Общее число участников: 350 человек.
В первых двух аудиториях разместили по 140 человек, то есть в них всего находится:
140 + 140 = 280 человек.
Следовательно, в запасную аудиторию перевели:
350 – 280 = 70 человек.
Вероятность случайного выбора участника из запасной аудитории равна отношению числа участников в ней к общему числу участников: Р = 70/350 = 1/5 = 0,2
Ответ: 0,2
5. В коробке 12 синих, 6 красных и 7 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Найдите вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастеры.
Ответ: 0,24
6. Найдите корень уравнения: √2х+31=9
Ответ: 25
7. Найдите значение выражения: 51 cos 4 9/sin 86°+8
Ответ: 59
8. На рисунке изображены график функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) и касательная к нему в точке с абсциссой 𝑥0 . Найдите значение производной функции 𝑓(𝑥) в точке 𝑥0.
Ответ: -1,25
9. При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приёмником, не совпадает с частотой исходного сигнала 𝑓0 = 170 Гц и определяется следующим выражением: 𝑓 = 𝑓0 ∙ 𝑐+𝑢 𝑐−𝜈 (Гц), где 𝑐 − скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а 𝑢 = 12 м/с и 𝜈 = 6 м/с – скорости приёмника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости 𝑐 (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике 𝑓 будет не менее 180 Гц?
Ответ: 312
10. Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 42 килограммов изюма, если виноград содержит 82% воды, а изюм содержит 19% воды?
Ответ: 189
11. На рисунке изображён график функции вида 𝑓(𝑥)=к/х Найдите значение 𝑓(10)
Ответ: -0,2
12. Найдите наименьшее значение функции: у=8cos𝑥+30/пх+19 на отрезке [-2п/3;0]
Ответ: -5
Задание 13
а) Решите уравнение х−3√𝑥−1+1=0.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [√3;√20].
Ответ: а = 2;5 б = 2
14. На ребре 𝐴𝐴1 прямоугольного параллелепипеда 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 взята точка 𝐸 так, что 𝐴1𝐸: 𝐸𝐴 = 6: 1, на ребре 𝐵𝐵1 − точка 𝐹 так, что 𝐵1𝐹: 𝐹𝐵 = 3: 4, а точка 𝑇 − середина ребра 𝐵1𝐶1 . Известно, что 𝐴𝐵 = 4√2, 𝐴𝐷 = 30, 𝐴𝐴1 = 35. а) Докажите, что плоскость 𝐸𝐹𝑇 проходит через вершину 𝐷1 . б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью 𝐸𝐹𝑇.
Ответ: 382,5
15. Решите неравенство (3 4𝑥−𝑥 2−3 − 1) ∙ log1 2 (𝑥 2 − 4𝑥 + 5) ≥ 0.
Ответ: (−∞;1]∪{2}∪[3;+∞)
16. В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на три года в размере 𝑆 млн рублей, где 𝑆 − целое число. Условия его возврата таковы: – каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года; – с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; – в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей. Найдите наименьшее значение 𝑆, при котором каждая из выплат будет больше 5 млн рублей.
Ответ: 11
17. В трапецию 𝐴𝐵𝐶𝐷 с основаниями 𝐴𝐷 и 𝐵𝐶 вписана окружность с центром 𝑂. а) Докажите, что sin ∠𝐴𝑂𝐷 = sin ∠𝐵𝑂𝐶. б) Найдите площадь трапеции, если ∠𝐵𝐴𝐷 = 90°, а основания равны 5 и 7.
Ответ: 35
18. Найдите все значения 𝑎, при каждом из которых система уравнений:
{y =|𝑥−𝑎|−4,
{4|𝑦| + 𝑥2 +8𝑥 = 0
Ответ: (−5;−4)∪(−4;−3)
19. На доске написано 30 различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру 4, или на цифру 8. Сумма написанных чисел равна 2786.
а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на 4 и на 8? = нет
б) Может ли ровно четыре числа на доске оканчиваться на 8? = нет
в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 8, может быть на доске? = 9