1 Ответ
Результаты 1 тура XX олимпиады будут опубликованы до 11 февраля, поэтому официальных ответов у нас нет. Все решения проводились самостоятельно. В каких-то задачах, вывели краткое решение.
Задача 1
Какое время показывают часы, если после того как часовая стрелка указывала ровно на 8, минутная стрелка повернулась на пять прямых углов по часовой стрелке?
Варианты ответа:
A) 8:15
Б) 9:00
B) 9:15 +
Г) 10:30
Д) 11:00
E) 12:00
Решение:
Исходное время: часовая стрелка точно на 8 = ровно 8:00.
Один прямой угол для минутной стрелки — это 90°, что соответствует 15 минутам (360° = 60 мин,
90° = 15 мин).
Минутная стрелка повернулась на 5 прямых углов: 5 х 15 = 75 минут = 1 час 15 минут.
8:00 + 1 ч 15 мин = 9:15.
Задача 2
Иван Денисович написал на доске 8 последовательных натуральных чисел. Затем он закрыл некоторые числа треугольниками, некоторые — квадратами, а одно число — кругом. Сумма чисел под треугольниками равна сумме чисел под квадратами, а число под кругом составляет четверть этой суммы. Какое число скрыто под кругом, если известно, что общая сумма всех чисел меньше 100?
Варианты ответа:
A) 8
Б) 6
B) 9
Г) 4 +
Д) 7
E) 5
Решение:
n = 2: S = 44, С не целое => нет.
n = 3: S = 52, С не целое.
n = 4: S = 60, C = 60/9 — не целое.
n = 5: S = 68, не целое.
n = 6: S = 76, не целое.
n = 7: S = 84, C = 84/9 — нет.
n = 8: S = 92, С не целое.
Единственное целое С при n=1: C=4.
Задача 3
Кирилл загадал трехзначное число, а Даша попыталась его угадать, высказав предположения:
1. Число делится на 9.
2. Число больше 295.
3. Число делится на 4.
4. Число нечетное.
5. Сумма цифр числа равна 15.
6. Число меньше 300.
Оказалось, что Даша ошиблась только в двух своих предположениях. Какое число загадал Кирилл?
Варианты ответа:
A) 296
Б) 297 +
B) 298
Г) 299
Задача 4
Магазин «Кактус и Ко» работает с 11:20 утра до 21:30 вечера. В воскресенье он закрывается на час раньше. Еще у кактусов есть перерыв с 15:00 до 15:40 по будням и с 15:00 до 16:00 по выходным. По вторникам магазин закрыт — в этот день кактусы пересчитывают свои иголки. Сколько часов в неделю работает магазин?
Варианты ответа:
А) 55 часов 40 минут
Б) 55 часов 20 минут +
В) 56 часов 20 минут
Г) 60 часов
Решение:
Будний день:
Работает 11:20–21:30 = 10 ч 10 мин.
Перерыв 15:00–15:40 = 40 мин.
Рабочее время в будний день = 10ч10мин — 40мин = 9 ч 30 мин.
За 4 будних дня = 4 × 9ч30мин = 38 ч.
Суббота (выходной без воскресного укорочения):
11:20–21:30 = 10ч10мин.
Перерыв 15:00–16:00 = 1 час.
Рабочее время = 9 ч 10 мин.
Воскресенье:
Закрывается на час раньше ⇒ до 20:30.
11:20–20:30 = 9 ч 10 мин.
Перерыв 1 час (15:00–16:00).
Рабочее время = 8 ч 10 мин.
Сумма за неделю:
Будни: 38 ч
Суббота: 9 ч 10 мин
Воскресенье: 8 ч 10 мин
Итого: 38 ч + 9ч10м + 8ч10м = 38 ч + 17ч20м = 55 ч 20 мин.
Задача 5
Андрей гулял по лесной просеке, двигаясь по прямой. Если бы он шел с привычной скоростью, он бы прошел просеку за 30 минут. Но каждый раз, пройдя 100 метров, он останавливался на минуту, чтобы срезать увиденный гриб (причём на самых краях просеки грибы не растут). И прогулка заняла у него 49 минут. Какова привычная скорость Андрея?
Варианты ответа:
А) 4 км/ч +
Б) 6 км/ч
В) 5 км/ч
Г) 3 км/ч
Задача 6
Куб построен из 15 черных и 12 белых кубиков. На рисунке изображены пять граней целого куба. Какой будет шестая грань целого куба?
Варианты ответа:
А)
Б)
В)
г) +
Задача 7
В классе десять человек. Известно, что если взять в группу шесть любых учеников, то каждого из оставшихся будет знать хотя бы один человек из группы. Какое наименьшее число знакомств может быть в таком классе?
Варианты ответа:
A) 9
Б) 10
B) 20 +
Г) 45
Задача 8
Умник загадал три последовательных натуральных числа. Первое он умножил на два, второе — на три, третье — на шесть, после чего все результаты произведений сложил. Какое из перечисленных чисел у него не могло получиться?
Варианты ответа:
A) 26
Б) 125
B) 245 +
Г) 356
Решение:
А) 26: 26 — 15 = 11, n = 1 => возможно.
Б) 125: 125 — 15 = 110, n = 10 => возможно.
В) 245: 245 — 15 = 230, 230/11 не целое => невозможно.
Г) 356: 356 — 15 = 341, 341 /11 = 31 => возможно.
Задача 9
Прямоугольный сад разделен на три меньших прямоугольника. Площадь клумбы с цветами равна площади огорода и так же равна половине площади травы. Ширина клумбы 2 метра, а длина огорода — 6 метров. Какую площадь занимает трава?
Варианты ответа:
A) 48
Б) 42
B) 36
Г) 30
Д) 24 +