1 Ответ
Прочитайте внимательно текст и выполните задания 1–5.
Два друга — Петя и Вася — задумались о том, как рассчитать площадь поверхности зонта. На первый взгляд зонт кажется круглым, а его купол напоминает часть сферы (сферический сегмент). Но если присмотреться, то видно, что купол зонта состоит из восьми отдельных клиньев, натянутых на каркас из восьми спиц (рис. 1). Сферическая форма в раскрытом состоянии достигается за счёт гибкости спиц и эластичности ткани, из которой изготовлен зонт. Петя и Вася сумели измерить расстояние между концами соседних спиц a. Оно оказалось равно 38 см. Высота купола зонта h (рис. 2) оказалась равна 25 см, а расстояние d между концами спиц, образующих дугу окружности, проходящей через вершину зонта, — ровно 100 см.
1. Длина зонта в сложенном виде равна 20 см и складывается из длины ручки (рис. 3) и четверти длины спицы (зонт в четыре сложения). Найдите длину спицы, если длина ручки зонта равна 5,9 см. Ответ дайте в сантиметрах.
Ответ: 56,4
2. «Поскольку зонт сшит из треугольников, — рассуждал Петя, — площадь его поверхности можно найти как сумму площадей треугольников». Вычислите площадь поверхности зонта методом Пети, если высота каждого равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, равна 53,1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах с округлением до десятков.
Ответ: 8070
3. Вася предположил, что купол зонта имеет форму сферического сегмента. Вычислите радиус R сферы купола, зная, что OC = R (рис. 2). Ответ дайте в сантиметрах.
Ответ: 62,5
4. Вася нашёл площадь купола зонта как площадь поверхности сферического сегмента по формуле S = 2πRh, где R — радиус сферы, а h — высота сегмента. Рассчитайте площадь поверхности купола способом Васи. Число π округлите до 3,14. Ответ дайте в квадратных сантиметрах с округлением до целого.
Ответ: 9813
5. Рулон ткани имеет длину 35 м и ширину 80 см. На фабрике из этого рулона были вырезаны треугольные клинья для 29 зонтов, таких же, как зонт, который был у Пети и Васи. Каждый треугольник с учётом припуска на швы имеет площадь 1050 кв. см. Оставшаяся ткань пошла в обрезки. Сколько процентов ткани рулона пошло в обрезки?
Ответ: 13
6. На координатной прямой отмечены числа x и y. Какое из приведённых утверждений для этих чисел неверно? x + y < 0 xy² > 0 x – y > 0 x²y < 0
Ответ: 1
7. Найдите значение выражения (a⁵)³ · a⁶ / a²² при a = 2.
Ответ: 0,5
8. Найдите корень уравнения 3(2 – x) + 2x = 3x – 4.
Ответ: 2,5
9. Люба, Олег, Георгий, Аня и Наташа бросили жребий, кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет мальчик.
Ответ: 0,4
10. Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой t F = 1,8t_C + 32, где t_C — температура в градусах Цельсия, t_F — температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Фаренгейта соответствует –35 градусов по шкале Цельсия?
Ответ: -31
11. При каких значениях a выражение 7a + 3 принимает только отрицательные значения? a > –3/7 a < –3/7 a > –7/3 a < –7/3
Ответ: 2
12. В кафе есть только квадратные столики, за каждый из которых могут сесть 4 человека. Если сдвинуть два квадратных столика, то получится стол, за который могут сесть 6 человек. На рисунке изображён случай, когда сдвинули 3 квадратных столика вдоль одной линии. В этом случае получился стол, за который могут сесть 8 человек. Сколько человек может сесть за стол, который получится, если сдвинуть 18 квадратных столиков вдоль одной линии?
Ответ: 38
13. В остроугольном треугольнике АВС проведена высота ВН, ∠BAC = 39°. Найдите угол АВН. Ответ дайте в градусах.
Ответ: 51
14. Радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, равен 22. Найдите высоту этой трапеции
Ответ: 44
15. Площадь параллелограмма равна 60, а две его стороны равны 4 и 20. Найдите его высоты. В ответе укажите большую высоту.
Ответ: 15
16. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите её площадь.
Ответ: 16,5
17. Какое из следующих утверждений верно? Тангенс любого острого угла меньше единицы. Средняя линия трапеции равна сумме её оснований. Точка, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку, равноудалена от концов этого отрезка. В ответе запишите номер выбранного утверждения.
Ответ: 3
18. Свежие фрукты содержат 79 % воды, а высушенные — 16 %. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 72 кг высушенных фруктов?
Ответ: 288 кг
19. Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 30° и 135°, а CD = 17.
Ответ: 17 корень из 2
20. Окружности радиусов 12 и 20 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.
Ответ: 30