Викторина «Россия решает!» (ноябрь 2025), какие ответы на вопросы?

1. Многие жители России с удовольствием отмечают сразу два новогодних праздника: общепринятый Новый год — в ночь с 31 декабря на 1 января, и старый Новый год — в ночь с 13 на 14 января. Именно в эту ночь наступил бы Новый год по старому стилю (отсюда старый Новый год), когда в России использовался юлианский календарь — до 1918 года. Какого числа по старому стилю родился Н. И. Лобачевский? (В XXI и XX веках разница юлианского и григорианского календарей — 13 дней, в XIX веке — 12, в XVIII
веке — 11 дней.)
20 ноября +
13 декабря
19 ноября
12 декабря
Решение: Лобачевский родился 1 декабря 1792 года по новому стилю (григорианскому календарю).
Пояснение: В XVIII веке разница между юлианским («старым стилем») и григорианским календарями составляла 11 дней. Чтобы найти дату по старому стилю, нужно вычесть 11 дней из даты нового стиля: 1 декабря — 11 дней = 20 ноября.

2. Принимавший вступительный экзамен преподаватель математики гимназии Григорий Иванович Карташевский уже тогда выделил Николая Лобачевского, решившего в уме задачу: бассейн получает воду из четырёх труб; первая наполняет его за день, вторая — за два дня, третья — за три, а четвёртая — за четыре; требуется узнать, за сколько времени наполнится бассейн, если все четыре трубы открыть одновременно.
Более четверти, но менее половины дня +
Не менее половины дня
Не более четверти дня
Решение:
Найдем производительность каждой трубы в день: первая — 1, вторая — 1/2, третья — 1/3, четвертая — 1/4.
Сложим их совместную производительность: 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 = (12 + 6 + 4 + 3) / 12 = 25/12 (бассейна в день).
Найдем время наполнения: t = 1 / (25/12) = 12/25 дня.
Пояснение: 12/25 = 0.48 дня. Это больше 0.25 (четверти дня), но меньше 0.5 (половины дня).

3. Гимназист загадал число, которое ему нужно было умножить на 4 и прибавить к результату 15. Он ошибся и, наоборот, умножил свое число на 15, а затем прибавил 4. Несмотря на ошибку, ответ получился верным. Какое число было загадано?
2
1 +
4
5
Решение: Составим уравнение. Пусть загаданное число — x.
Правильное действие: 4x + 15
Ошибочное действие: 15x + 4
По условию результаты равны: 4x + 15 = 15x + 4
Пояснение: Решаем уравнение: 15 — 4 = 15x — 4x => 11 = 11x => x = 1.

4. Три студента Казанского университета ходили в булочную: первый — раз в три дня, второй — раз в 4 дня, третий — раз в 5 дней. Однажды они оказались втроем в булочной в понедельник. В какой день недели состоится их встреча в следующий раз?
Понедельник
Вторник
Среда
Четверг
Пятница +
Суббота
Воскресенье
Решение: Нам нужно найти Наименьшее Общее Кратное (НОК) периодов посещения студентов.
НОК(3, 4, 5) = 60.
Пояснение: Следующая встреча произойдет через 60 дней. В неделе 7 дней. Найдем остаток от деления:
60/7 = 8 недель и 4 дня в остатке. Отсчитываем от понедельника: понедельник (+1) -> вторник (+2) -> среда (+3) -> четверг (+4)? Стоп, неверно. Отсчет: понедельник — это день 0. Пн(0), Вт(1), Ср(2), Чт(3), Пт(4). Значит, через 60 дней будет пятница.

5. Часы на стене факультета уходят вперёд на 15 минут в день, а часы студента отстают на 10 минут в день. 1 мая в полдень на факультетских часах 17:00, а на часах студента 13:00. Какого числа и какого месяца впервые после 1 мая в полдень часы покажут одинаковое время одновременно?
12 мая
10 мая +
6 мая
9 мая
Решение:
Факультетские часы уходят вперед на 15 мин/день, студенческие отстают на 10 мин/день. Значит, они «сближаются» со скоростью 15 + 10 = 25 минут в день.
Разница между ними 1 мая в полдень: 17:00 — 13:00 = 4 часа = 240 минут.
Время, через которое разница станет нулевой: 240 мин / 25 мин/день = 9.6 дня.
Пояснение: Так как встреча произойдет впервые после 1 мая, и 9.6 > 9, значит, это случится на 10-й день, то есть 10 мая.

6. Периметр прямоугольника равен 36 см. Если провести некоторый вертикальный разрез, то сумма периметров двух полученных прямоугольников будет равна 42 см. А чему будет равен периметр каждого из прямоугольников, если горизонтальным разрезом поделить исходный прямоугольник на два равных?
40
30
33 +
26
Решение:
Пусть стороны прямоугольника a и b. Периметр P = 2(a + b) = 36 => a + b = 18.
При вертикальном разрезе добавляются два отрезка, равных ширине b. Сумма периметров: P_верт = 2(a + b) + 2b = 36 + 2b = 42 => 2b = 6 => b = 3. Тогда a = 15.
При горизонтальном разрезе пополам (на два равных) высота каждого нового прямоугольника будет a/2 = 7.5. При таком разрезе добавляются два отрезка, равных длине a.
Сумма периметров: P_гор = 2(a + b) + 2a = 36 + 2*15 = 36 + 30 = 66.
Пояснение: В задаче спрашивается периметр каждого из двух полученных прямоугольников. Так как они равны, то периметр одного равен 66 / 2 = 33.

7. Сумма углов треугольника на евклидовой плоскости равна 180°. Какой может быть сумма углов треугольника в геометрии Лобачевского?
Меньше 180° +
Равна 180°
Больше 180°
Пояснение: Это одно из фундаментальных отличий геометрии Лобачевского (гиперболической геометрии) от евклидовой. В его геометрии через точку, не лежащую на прямой, можно провести бесконечно много прямых, параллельных данной, а сумма углов треугольника всегда меньше 180°.

8. Считается, что Карл Фридрих Гаусс в 6 лет почти моментально посчитал сумму натуральных чисел от 1 до 100. Сможете ли вы посчитать не пользуясь ИИ а) сумму натуральных чисел от 1 до 1000. b) сумму чисел 1+3+5+7+ … +199 (про эту задачу великий А. Н. Колмогоров в книге «Математика — наука и профессия» пишет: «Радость математического «открытия» я познал рано, подметив в возрасте пяти-шести лет закономерность … »)
a) 100500
б) 10000

a) 500500 +
б) 10000 +

a) 1000
б) 20000

a) 5050
б) 19900
Решение а): Сумма арифметической прогрессии от 1 до 1000: S = (a1 + an) * n / 2 = (1 + 1000) * 1000 / 2 = 1001 * 500 = 500500.
Решение б): Это сумма нечетных чисел от 1 до 199. Количество членов: n = (199 — 1)/2 + 1 = 100. Сумма: S = (1 + 199) * 100 / 2 = 200 * 50 = 10000.

9. В 1844 году в Казанский университет поступает Лев Николаевич Толстой. Позднее он напишет свой учебник арифметики, большую известность приобретёт его задача: «Артель рабочих косила большой луг до обеда. После обеда половина артели продолжала косить большой луг и кончила его к вечеру. Вторая половина артели перешла на луг вдвое меньший и к вечеру не докосила на нем полосу, которую на другой день докосил один рабочий, работая целый день. Спрашивается, сколько человек было в артели?»
6
12
8 +
Решение: Пусть в артели x человек, и один рабочий за день косит площадь z.
До обеда работали все x человек, после обеда — x/2 на большом лугу и x/2 на малом.
Большой луг: x * 0.5 + (x/2) * 0.5 = 0.75x (в единицах «человеко-день»).
Малый луг (вдвое меньше): (x/2) * 0.5 + 1 * 1 = 0.25x + 1.
Так как малый луг в 2 раза меньше большого: 0.75x = 2 * (0.25x + 1).
0.75x = 0.5x + 2 => 0.25x = 2 => x = 8.

10. В математике есть обозначение 2025! — это не восклицание «ура!», а факториал. 2025 факториал — это произведение всех натуральных чисел от 1 до 2025. На сколько нулей оканчивается: А)14! ? Б) 15! ? В) 2025! ?
a) 14
б) 15
B) 2025

a) 1
б) 5
B) 25

а) 4
б) 14
в) 505

а) 2 +
б) 3 +
в) 505 +
Пояснение: Количество нулей, на которое оканчивается n!, определяется количеством пар множителей 2 и 5 в его разложении на простые множители. Так как двоек всегда больше, чем пятерок, нужно считать количество множителей 5.
А) 14!: Считаем пятерки: 14 / 5 = 2 (игнорируем остаток). Значит, 2 нуля.
Б) 15!: 15 / 5 = 3. Значит, 3 нуля.
В) 2025!: Считаем по формуле: 2025 / 5 + 2025 / 25 + 2025 / 125 + 2025 / 625 = 405 + 81 + 16 + 3 = 505. Значит, 505 нулей.