1 Ответ
Задание 1. На уроке физкультуры дети выстроились в ряд. Между Петей и Сашей стоит 7 ребят, а между Сашей и Мишей стоит 9 ребят. Сколько ребят может стоять между Петей и Мишей?
Решение:
Пусть х — расстояние между Петей и Сашей, у — между Сашей и Мишей.
По условию: х = 8 (7 ребят между), у = 10 (9 ребят между).
Расстояние между Петей и Мишей:
d=[x+ y|
(знак зависит от порядка).
1. Если Петя и Миша по разные стороны от Саши: d = x + y = 8 + 10 = 18 позиций между ними
=> 18 — 1 = 17 ребят.
2. Если Петя и Миша по одну сторону от Саши: d = [x — y| = |8 — 10| = 2 позиции между ними
=> 2 — 1 = 1 ребёнок.
Ответ: 1 или 17.
Задание 2. На доске вначале написано число 123. С числом на доске разрешается выполнять одну из двух операций: стереть его последнюю цифру, удвоить число. Четырехзначные числа записывать на доску нельзя. Можно ли получить на доске число, большее 95?
Решение:
Проверим путь:
123 — 246 — 492 — 984 — 98.
98 > 95.
Всё разрешено:
123 (удвоить) — 246 (удвоить) — 492 (удвоить) — 984 (стереть последнюю цифру) — 98.
5. Ответ: Да, можно.
Задание 3. Алексей хочет купить в магазине несколько одинаковых шоколадок. Цена каждой шоколадки выражается целым нечётным числом рублей. Если он даст кассиру купюру в 2000 рублей, он сможет купить 9 шоколадок. Если он добавит купюру в 200 рублей, то всё равно сможет купить только 9 шоколадок. Сколько стоит одна шоколадка?
Решение:
Пусть цена шоколадки р рублей, нечётная.
Из условия:
9р < 2000 < 10p ⇒ 200 < p ≤ 222.
9р < 2200 < 10p ⇒ 220 < p ≤ 244.
Пересечение: 220 < p ≤ 222, р нечётное => p = 221.
Ответ: 221 руб.
Задание 4. Найдите наибольшее 2025-значное число, у которого каждая цифра, кроме первой и последней, равна сумме двух соседних с ней цифр, умноженной на некоторое натуральное число или ноль (этот множитель не обязательно должен быть один и тот же при получении цифр искомого числа).
ответ = наибольшее такое число 9900 … 0099 (с 2021 нулём между 99 и 99).
Задание 5. Дана таблица 9 × 9. Назовем клетки таблицы соседними, если они имеют ровно одну общую вершину. Можно ли расставить в клетки этой таблицы различные натуральные числа от 10 до 90 так, что сумма чисел, стоящих в любых двух соседних клетках, не делилась бы на 3?
ответ = Невозможно расставить числа, так как в связном двудольном графе нельзя раскрасить в 3 цвета с запретом рёбер B–C: если убрать все рёбра между B и C, граф распадётся на части, но он связный, значит, есть хотя бы одно ребро B–C.