1 Ответ
Задание 1. Найдите четыре целых числа таких, что их сумма равна нулю, а произведение равно 2025.
Ответ: а-45, в-1, с-45, d-1. a-15, в-3, с-15, d-3. a-9, в-5, с-9, d5.
Задание 2. В кошельке лежали 10 монет достоинством 5 и 10 рублей. Семь ребят разобрали все монеты, причём каждый взял либо одну монету, либо две. Если кто-то брал две монеты, то это были монеты разного достоинства. Известно, что у Пети в итоге оказалось меньше денег, чем у любого другого ребёнка. Какая сумма могла лежать в кошельке?
Решение:
1. Из условия: 7 человек, 10 монет.
Пусть х — взяли по 2 монеты, у — по 1 монете.
x + y = 7, 2x + y = 10
Решаем: х = 3, у = 4.
2. У троих по 2 монеты разного достоинства => у них по 5 + 10 = 15 рублей.
У четверых — по одной монете: либо 5, либо 10 рублей.
3. Петя имеет меньше всех => у него 5 рублей, и никто больше не имеет 5 рублей.
Значит, из 4 человек с одной монетой: 1 (Петя) — 5 руб., остальные 3 — по 10 руб.
4. Распределение сумм:
Петя: 5 руб.,
3 человека: 10 руб.
3 человека: 15 руб.
5. Монеты:
Пятирублёвые: у Пети (1 шт.) + у троих с 15 руб. (по 1 шт.) = a = 4 шт.
Десятирублёвые: у троих с 10 руб. (3 шт.) + у троих с 15 руб. (3 шт.) => b = 6 шт.
6. Общая сумма:
4 х 5 + 6 х 10 = 80 рублей.
Ответ: 80 рублей
Задание 3. Среди 11 человек есть лжецы (они всегда лгут) и рыцари (они всегда говорят правду). Каждому из них дали несколько конфет, после чего каждый сказал: «У меня чётное число конфет». После этого некоторые люди дали часть своих конфет кому-то другому. Может ли оказаться, что теперь каждый может сказать: «У меня нечётное число конфет»?
Ответ: нет, не может.
Задание 4. Прямоугольник разрезан на равные квадраты. Для каждого из квадратов посчитали количество квадратов разрезания, имеющих с данным квадратом общую сторону. Все посчитанные числа сложили и получили сумму, равную 220. Найдите количество квадратов разрезания, если известно, что по крайней мере один из них не имеет общих точек с границами прямоугольника.
Ответ:
Задание 5. Олег утверждает, что какие бы 50 попарно различных натуральных чисел ему не дали, он может выложить их в ряд так, что среди сумм соседних чисел встретится не менее N составных. Какое наибольшее значение может принимать N?
Ответ: