1 Ответ
Задание 1. На шахматной доске можно выделить различные прямоугольники со сторонами, лежащими на сторонах клеток. Сколько прямоугольников НЕ являются квадратами 6×6? Ответ = 1287
Задание 2. Сумма двух чисел равна √65, а разность √29. Чему равно их произведение? Ответ = 9
Задание 3. В остроугольном треугольнике ABC проведена медиана BM, которая делит биссектрису CL в отношении 4:3. Найдите отношение площадей треугольников ABC и ALM. Ответ = 8
Задание 4. Функция f удовлетворяет условию f(xy)=f(x)+f(y) для всех натуральных чисел x,y. Известно, что f(10)=14 и f(25)=26.
Найдите f(1) = 0
Найдите f(2) = 1
Найдите f(400) = 30
Задание 5. График функции y=5×2 отразили относительно прямой, описанной уравнением y=1−x. Определите коэффициенты в уравнении получившейся параболы x=ay2+by+c.
Ответ:
а = 5
b = 10
с = –4
Задание 6. Демьян выкладывает картонные квадраты 2×2 вдоль диагонали квадрата 3×3 следующим образом: сначала по одному квадрату прикладывает к двум противоположным углам, а остальные равномерно выкладывает вдоль диагонали между первыми двумя (то есть центры квадратов делят отрезок между центрами крайних квадратов на равные отрезки). На рисунке показан пример для четырёх квадратов, которые покрывают область площади 23/3.
Сколько необходимо квадратов, чтобы они покрыли площадь, равную 255/32? Число Чему равно минимальное количество квадратов, необходимое для того, чтобы покрыть площадь хотя бы 62√? Ответ =
Задание 7. У Васи есть 20 картонных квадратов 1×1, стороны каждого покрашены в красный, жёлтый, зелёный и синий цвета; для всех квадратов эти стороны расположены одинаково относительно друг друга. Вася хочет из них сложить доску 4×5. Квадраты можно поворачивать и переворачивать, но соединять допустимо только по сторонам одного цвета. Доски, отличающиеся поворотом или переворотом, считаются разными. Сколько всего различных досок может собрать Вася? Ответ =
Задание 8. У натуральных чисел a, b наибольший общий делитель НОД (a, b) равен 3. Найдите все возможные значения НОД(a2+ab+b2, a2+4ab+b2). Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Решение:
Т.к. НОД(a, b) = 3, то a = 3x, b = 3y, где x и y — взаимно простые числа.
Тогда:
a^2 + ab + b^2 = 9x^2 + 9xy + 9y^2 = 9(x^2 + xy + y^2)
a^2 + 4ab + b^2 = 9x^2 + 36xy + 9y^2 = 9(x^2 + 4xy + y^2)
Пусть d = НОД(x^2 + xy + y^2, x^2 + 4xy + y^2). Тогда НОД(9(x^2 + xy + y^2), 9(x^2 + 4xy + y^2)) = 9d
Вычтем из второго выражения первое: (x^2 + 4xy + y^2) — (x^2 + xy + y^2) = 3xy
d должен быть делителем 3xy.
НОД(x^2 + xy + y^2, 3xy) = НОД(x^2 + xy + y^2 — x/3 * 3xy, 3xy)= НОД(x^2+y^2, 3xy)
Т.к. НОД(x,y) = 1, то НОД(x^2+y^2,x)=НОД(y^2,x)=1, НОД(x^2+y^2,y)=НОД(x^2,y)=1
Следовательно, НОД (x^2+y^2, xy) = 1,
значит НОД(x^2+xy+y^2, 3xy) может быть только 1 или 3.
Получаем d=1 или d=3
НОД(a^2+ab+b^2, a^2+4ab+b^2) = 9d = 9 * 1 или 9 * 3
НОД(a^2+ab+b^2, a^2+4ab+b^2) = 9 или 27
Ответ: 9, 27