1 Ответ
Задание 1. Вика пошла в гости к своей подруге Ане. Вика помнит, что Аня живёт в 143‑й квартире, причём в седьмом или восьмом подъезде. Ещё известно, что дом Ани пятиэтажный, а на каждом этаже во всех подъездах одинаковое число квартир.
На каком этаже живёт Аня? Ответ = на 1 этаже
Найдите наибольший номер квартиры, находящейся на втором этаже пятого подъезда. 0твет = 88
Задание 2. Саша и Костя купили себе по 28 пар носков каждый некоторые пары белые, а некоторые чёрные, и у каждого носки обоих цветов присутствуют. Оба хранят носки каждый в своём шкафчике: все левые носки в одном разделе, а все правые в другом. Оказалось, что выбирая по одному носку наугад из каждого шкафчика, Саша вытащит одноцветную пару с той же вероятностью, с какой Костя вытащит чёрную пару.
Сколько всего белых пар купил Костя? Ответ = 8 пар
Задание 3. Последовательность (an) определена следующим образом: a1=1, a10=55, an+2=2an+1−an для всех натуральных n.
Найдите a3. = 13
Найдите сумму a1+a2+…+a100. = 29800
Задание 4. Дан ряд чисел 1, 2, …, 2046. Какое наибольшее количество чисел можно выбрать среди них так, чтобы сумма любых трёх выбранных чисел делилась на 15?
Чему может быть равно наименьшее число из набора с наибольшим количеством чисел из предыдущего пункта? Ответ = 137
Задание 5. В прямоугольном треугольнике ABC с гипотенузой AC точка M середина AC, N середина BC. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке K. Найдите AB+2KN, если BC=18, tg∠ACB=409. Ответ = 2√97
Задание 6. Решите уравнение в натуральных числах: 2×2+5y2−4xy+7=8x+2y. Для каждой пары решений (x; y) в ответ напишите сумму x+y.
Ответ: для (1,1):1 + 1 = 2
Ответ: для (5,1):5 + 1 = 6
Задание 7. В тетраэдре ABCD рёбра AD и BC перпендикулярны. Пусть AH и DE высоты тетраэдра. Найдите HE, если известно, что AD=16, а угол между плоскостями ABC и BCD равен 30∘. Ответ округлите до целых. Напомним, что высотой тетраэдра называется отрезок, проведённый из вершины к плоскости противоположной грани и перпендикулярный ей. Ответ = 14
Задание 8. На «Кивипедии» есть несколько статей. В каждой статье имеется хотя бы одна ссылка на другую статью, а также на каждую статью «Кивипедии» ведёт ссылка с хотя бы одной другой статьи, но никакие две статьи не ссылаются друг на друга. Кроме того, известно, что со страницы «Киви (фрукт)», переходя по ссылкам, невозможно дойти до страницы «Киви (птица)». Редакторы хотят добавить ровно одну ссылку в ровно одну статью так, чтобы с каждой статьи, переходя по ссылкам, можно было добраться до любой другой (после этого две статьи могут ссылаться друг на друга). Оказалось, что это получится сделать N способами. Каким числам НЕ может равняться N?
Решение:
Представим, что у нас всего 2 компонента связности: «Фрукт» и «Птица». Чтобы их соединить, нужно добавить ссылку ИЗ «Фрукта» в «Птицу» или ИЗ «Птицы» во «Фрукт». Допустим, в «Фрукте» x статей, а в «Птице» y статей. Тогда существует x*y способов добавить ссылку из одной компоненты в другую.
Если компонент связности больше двух, тогда надо рассмотреть больше вариантов добавления ссылки, что также влияет на число способов.
Важно понять, что N будет являться результатом перемножения количества статей в каких-то компонентах связности.
Теперь, какие числа НЕ могут получиться в результате такого перемножения? Простые числа! Если N — простое число, то его можно представить только в виде произведения 1 * N. Но у нас в каждом компоненте связности больше 1 статьи, следовательно, простое чиcло никак не может быть количеством способов добавления ссылки.
Ответ: N не может быть простым числом.