15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму А млн рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы:
С 1‐го числа каждого месяца долг возрастает на 4% по сравнению с концом предыдущего месяца;
Со 2‐го по 14‐е число каждого месяца необходимо одним платежом выплатить часть долга;
С 15‐го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15‐е число предыдущего месяца;
К 15 декабря 2028 года кредит должен быть полностью погашен.
Чему равно А, если общая сумма платежей в 2027 году составит 2610 тыс. рублей?
1 Ответ
Решение:
Пусть сумма кредита равна A млн рублей. Кредит берется на 24 месяца, и долг уменьшается равномерно. Значит, каждый месяц долг уменьшается на A/24 млн рублей.
Обозначим долг на 15-е число n-го месяца как D_n. Тогда D_n = A — n * (A/24).
Процентная ставка составляет 4% в месяц, то есть долг увеличивается в 1.04 раза.
Платеж в n-м месяце (P_n) состоит из начисленных процентов на долг в начале месяца и части долга, выплачиваемой в этом месяце.
Таким образом, P_n = 1.04 * D_(n-1) — D_n.
В 2027 году выплаты производятся с января по декабрь, то есть с 1-го по 12-й месяц. Общая сумма платежей за 2027 год равна сумме платежей P_1 + P_2 + … + P_12.
P_n = 1.04 * (A — (n-1) * (A/24)) — (A — n * (A/24))
P_n = 1.04A — 1.04(n-1)A/24 — A + nA/24
P_n = 0.04A + A/24 * (n — 1.04(n-1))
P_n = 0.04A + A/24 * (n — 1.04n + 1.04)
P_n = 0.04A + A/24 * (1.04 — 0.04n)
Сумма платежей за 2027 год:
S = Σ P_n = Σ (0.04A + A/24 * (1.04 — 0.04n)) для n от 1 до 12
S = 12 * 0.04A + A/24 * Σ (1.04 — 0.04n)
S = 0.48A + A/24 * (12 * 1.04 — 0.04 * Σ n)
Сумма n от 1 до 12 равна 12 * 13 / 2 = 78.
S = 0.48A + A/24 * (12.48 — 0.04 * 78)
S = 0.48A + A/24 * (12.48 — 3.12)
S = 0.48A + A/24 * 9.36
S = 0.48A + 0.39A
S = 0.87A
Сумма платежей за 2027 год равна 2610 тыс. рублей, то есть 2.61 млн рублей.
0.87A = 2.61
A = 2.61 / 0.87
A = 3
Ответ: A = 3 млн рублей.