Петя написал на доске 11 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых, и заметил, что?

Решение:
1. Анализ делимости на 3:
Если сумма любых трех чисел делится на 3, то все числа имеют одинаковый остаток при делении на 3. Допустим, у всех чисел остаток r при делении на 3. Тогда сумма трех таких чисел будет иметь остаток 3r при делении на 3, что всегда делится на 3.
2. Анализ делимости на 4:
Аналогично, если сумма любых четырех чисел делится на 4, то все числа имеют одинаковый остаток при делении на 4. Допустим, этот остаток s.
3. Анализ делимости на 7:
То же самое, все числа имеют одинаковый остаток t при делении на 7.
4. Объединение информации:
Итак, все 11 чисел имеют один и тот же остаток при делении на 3, один и тот же остаток при делении на 4, и один и тот же остаток при делении на 7. Это означает, что все числа сравнимы по модулю НОК(3, 4, 7) = 84.
Значит, все числа можно представить в виде: ai = 84ki + u, где u — общий остаток, а ki — целые числа.
5. Минимизация чисел:
Чтобы найти наименьшее возможное значение наибольшего числа, нужно минимизировать все числа. Поскольку числа натуральные и различные, мы можем взять:
k1 = 0, a1 = u
k2 = 1, a2 = 84 + u
k3 = 2, a3 = 168 + u
k11 = 10, a11 = 840 + u
6. Определение остатка u:
Важно, чтобы все числа были натуральными, значит, u >= 1. Чтобы минимизировать наибольшее число, возьмем наименьшее возможное значение u, то есть u = 1.
7. Наибольшее число:
Наибольшее число будет равно a11 = 840 + 1 = 841.
Проверяем:
Сумма трех чисел делится на 3: Любые три числа будут иметь вид (84ki + 1) + (84kj + 1) + (84kl + 1) = 84(ki + kj + kl) + 3. Это выражение делится на 3, так как 84 делится на 3, и 3 делится на 3.
Сумма четырех чисел делится на 4: Аналогично, сумма четырех чисел будет иметь вид 84(ki + kj + kl + km) + 4, что делится на 4.
Сумма семи чисел делится на 7: Сумма семи чисел будет иметь вид 84(сумма ki) + 7, что делится на 7.
Ответ: Наименьшее возможное значение наибольшего из написанных на доске чисел равно 841.