Петя переписал в тетрадь два двузначных числа с доски и перемножил их. Он сделал ошибку в одном из чисел: написал десятки на месте единиц, а единицы на месте десятков, поэтому результат оказался на 1449 больше, чем должен был быть. Какие числа были записаны на доске? Укажите все подходящие варианты. Для каждой возможной пары чисел в качестве ответа запишите их сумму.
1 Ответ
Решение:
Пусть на доске были записаны числа 10a+b и 10c+d, где a,b,c,d — цифры от 1 до 9. Петя перемножил числа 10a+b и 10c+d, но допустил ошибку, переписав первое число как 10b+a. Таким образом, он перемножил 10b+a и 10c+d. Из условия задачи известно, что результат Пети оказался на 1449 больше, чем правильный результат.
Значит, имеем уравнение:
(10b+a)(10c+d)−(10a+b)(10c+d)=1449
(10b+a−10a−b)(10c+d)=1449
(9b−9a)(10c+d)=1449
9(b−a)(10c+d)=1449
(b−a)(10c+d)=161
Поскольку 10c+d — двузначное число, а b−a — целое число, то нужно разложить 161 на два множителя, один из которых двузначное число. Разложим 161 на простые множители: 161=7⋅23.
Тогда возможны следующие варианты: 1) b−a=7 и 10c+d=23. 2) b−a=1 и 10c+d=161 (не подходит, т.к. 161 — трехзначное число)
Для первого случая 10c+d=23, значит c=2 и d=3. Теперь нужно найти все пары цифр a и b, такие что b−a=7. Возможные пары:
a=1,b=8. Тогда первое число равно 18, второе 23.
a=2,b=9. Тогда первое число равно 29, второе 23.
Проверим:
(81−18)⋅23=63⋅23=1449.
(92−29)⋅23=63⋅23=1449.
Таким образом, числа на доске могли быть 18 и 23, или 29 и 23. Суммы этих чисел:
18+23=41
29+23=52
Ответ: 41, 52.