Могло ли оказаться так, что все 10 раз состязание закончилось вничью (то есть суммы сил детей в командах были равны)?

Теоретически, могло оказаться так, что все 10 раз состязание закончилось вничью, если распределение детей по командам каждый раз было таким, что сумма сил детей в каждой команде была одинаковой. Однако это крайне маловероятно, учитывая, что дети имеют разную силу и учитель каждый раз делил их на команды новым способом. Более вероятно, что хотя бы один раз состязание закончилось не вничью, поскольку невозможно гарантировать абсолютно равное распределение сил между командами при каждом новом способе деления.
Разобьём детей на пары с суммарной силой 13: (1, 12), (2, 11), (3, 10), (4, 9), (5, 8), (6, 7).
Пусть в первой команде всегда будет пара (1, 12) и ещё какие-то две из оставшихся пяти пар. При этом остальные три пары образуют вторую команду.
Тогда суммарная сила каждой команды будет равна 3 · 13 = 39.
Две пары из пяти возможных пар можно выбрать 5·4/2 = 10 возможными способами.
Таким образом, мы получили 10 возможных разбиений на команды с равными силами.