Ha доске выписаны n натуральных чисел. Как найти все значения n, при которых первый игрок может выиграть, независимо от игры второго игрока?

Мы можем определить стратегию первого игрока на основе анализа ситуации для различных значений n.

1. Если n = 1: Первый игрок просто вычеркивает 1. Второй игрок не делает ходов. Первый игрок выигрывает.
2. Если n = 2: Первый игрок может вычеркнуть 1 или 2. После этого второй игрок вычеркнет оставшееся число, и первый игрок ничего сделать не может. Второй игрок выигрывает.
3. Если n = 3: Первый игрок может вычеркнуть любое число. После этого второй игрок вычеркивает одно из оставшихся чисел. Первый игрок затем может избежать проигрыша, вычеркивая оставшееся число (если он не вычеркнул соседние числа в первом ходе). Таким образом, первый игрок может выиграть.
4. Если n = 4: Аналогично предыдущему случаю, что бы ни вычеркнул первый игрок, второй игрок всегда сможет найти такой ход, при котором первый игрок в следующем ходе вычеркнет два соседних числа. Поэтому второй игрок выигрывает.
5. Если n = 5: Первый игрок может использовать стратегию, которая полагается на вычеркивание центрального числа (например, 3), затем второй игрок вычеркивает одно из оставшихся (например, 2 или 4), и в конце первого игрока приведут к выигрышу. Таким образом, он может избежать проигрыша.

Теперь давайте попробуем определить правила для значений n.

Из анализа видно, что:

• Первый игрок выигрывает, если n = 1, 3, 5 и так далее (т.е. если n нечетное число).
• Второй игрок выигрывает, если n = 2, 4, 6 и так далее (т.е. если n четное число).

Таким образом мы приходим к заключению:

Ответ: Первый игрок может выиграть независимо от игры второго игрока, если n — нечетно.