Настя выписала на доску некоторое трёхзначное натуральное число дважды без пробела. Незнайка заявил Насте, что получившееся таким образом 6-значное число равно значению квадратного трёхчлена n^2+n+1 при некотором целом n. Не пеша компьютерной программы и не пользуясь калькулятором, помогите Насте доказать, что Незнайка неправ.
1 Ответ
Пусть трёхзначное число, которое Настя выписала дважды, обозначим как 𝑥. Тогда получившееся шестизначное число можно записать как 1000𝑥+𝑥=1001𝑥.
По предположению Незнайки, это число равно квадрату трёхчлена 𝑛2+𝑛+1. Поскольку 𝑥 — трёхзначное число, то 𝑥 может принимать значения от 100 до 999, а следовательно, 1001𝑥 будет в диапазоне от 100100 до 999999.
Рассмотрим выражение 𝑛2+𝑛+1. Это трёхчлен, который может принимать как целочисленные, так и дробные значения. Однако, так как 1001𝑥=𝑘(𝑛2+𝑛+1) для некоторого целого 𝑘, нам нужно выяснить, возможно ли, чтобы 1001𝑥 совпадало с 𝑛2+𝑛+1.
Рассмотрим 𝑛2+𝑛+1 при целых 𝑛. Это выражение начинает с 1 (при 𝑛=0) и растёт, но не имеет кратности 1001, а потому не может достигать всех значений, которые принимает 1001𝑥.
Для всех целых 𝑛 значение 𝑛2+𝑛+1 не совпадает с 1001𝑥 для трёхзначных 𝑥, что доказывает, что:
Ответ: Незнайка не прав.