Петя выписал К блоков 123456789 и получил 9к-значное число. При каком наименьшем значении К полученное число будет кратно 729?

Для того чтобы полученное число было кратно 729, необходимо, чтобы сумма цифр этого числа также была кратна 729. В числе, состоящем из K блоков, будет 9К цифр. Сумма первых 9 цифр (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) равна 45, что уже кратно 9 и 729.

Для того чтобы убедиться, что каждая следующие 9 цифр в сумме дадут также 45, достаточно сгруппировать цифры по девять:
1+2+3+4+5+6+7+8+9=45
1+2+3+4+5+6+7+8+9=45
1+2+3+4+5+6+7+8+9=45
…

Такая сумма даст 45 вне зависимости от количества раз, которое ее повторить.

Следовательно, минимальное значение К будет таковым, что 9К будет кратно 729. Следовательно, минимальное значение К равно 81, потому что 9 * 81 = 729. Таким образом, Пете необходимо записать 81 блок чисел 123456789 для того, чтобы полученное число было кратно 729.

Ответ: k = 81