1 Ответ
Задание 1: Учитель составляет варианты для контрольной работы. Каждый вариант устроен так: учитель в произведении 345612⋅653209 между какими-то двумя цифрами в каждом числе ставит запятую. Он выбирает варианты так, чтобы ответы во всех вариантах были различными.
Какое наибольшее число вариантов удастся выбрать учителю? = 10 вариантов
Задание 2: К правильному пятиугольнику приставили правильный треугольник. Чему равна градусная мера угла, обозначенного вопросительным знаком? = 54 градусная мера
Задание 3: Прямоугольник 6×9 покрыт 18 непересекающимися прямоугольниками 1×3 (прямоугольники лежат по клеточкам). Некоторые из прямоугольников разрезания отмечены на рисунке ниже.
Как может быть покрыта отмеченная красным клетка? Выберите все возможные варианты: = 6 вариант
Задание 4: По кругу через равные промежутки растут 846 яблонь. Поздней осенью на каждой из них осталось 1, 2, 3, 4 или 5 яблок. Оказалось, что количества яблок на любых двух рядом растущих яблонях отличаются ровно на 1. Одно яблоко растёт на 200 яблонях, три — на 21.
А на скольких яблонях растёт пять яблок? = 59 яблонь
Задание 5: Два действительных числа a и b таковы, что выполняется равенство
a2+6a=2b2+11b−15. Известно, что если изменить a, то равенство точно перестанет быть верным. Найдите все возможные значения b. Каждое возможное значение записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости. = 0.5, -6
Задание 6: Три параллельные прямые пересекают угол и на каждой стороне высекают отрезки, которые относятся как 3:5:1 (см. рисунок). В результате образовались две трапеции. Площадь красной трапеции равна 90 (см. рисунок). Найдите площадь синей трапеции, отмеченной вопросительным знаком. = 32,5125
Задание 7: Сколько существует натуральных чисел x, для которых найдутся такие натуральные числа y и z, что 2x+3y+6z=1200?
Решение:
Сначала поделим обе стороны уравнения на 2, чтобы упростить его вид: x+y+3z=600.
Так как x, y и z — натуральные числа, то их минимальное значение — 1.
После этого можно записать уравнение через z: x+y=600-3z. Минимальное значение суммы x+y будет при максимальном z.
Найдем максимальное значение z: при z=200 сумма x+y = 600-3*200 = 0. Однако мы знаем, что x и y не могут быть равны нулю, они являются натуральными числами, поэтому максимальное значение z=199.
Теперь можно найти количество возможных значений x. При каждом значении z от 1 до 199 сумма x и y меняется, при этом x и y могут принимать разные значения.
Значит, число решений уравнения равно числу значений z, то есть 198.
Ответ: 198.
Задание 8: 8100 школьников встали в шеренгу. По команде «Рассчитайсь!» они по порядку стали называть свои номера: «Один!», «Два!», …, «Восемь тысяч сто!». После этого каждый, кто оказался на месте, номер которого — квадрат натурального числа ( т.е.1=12 ,4=22, …), ушёл играть в футбол. Оставшиеся школьники повторили этот процесс: встали в шеренгу, выкрикнули номера, школьники с номерами — точными квадратами — ушли играть в футбол. Так они повторяли до тех пор, пока количество оставшихся школьников впервые не стало меньше 520. Сколько школьников осталось в этот момент?
Решение:
1. Начнем с 8100 школьников. Под квадратными числами мы понимаем числа, которые являются квадратами натуральных чисел. Так, первые десять квадратных чисел это: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100. В общем случае, количество квадратных чисел в последовательности от 1 до n равно sqrt(n), округленному до целого числа вниз. Соответственно, количество квадратных чисел в диапазоне от 1 до 8100 равно sqrt(8100) = 90.
2. Значит, на первой итерации уйдет 90 школьников, и останется 8100 — 90 = 8010.
3. Затем на второй итерации количество квадратных чисел в диапазоне от 1 до 8010 равно sqrt(8010) = 89 (округляем вниз). Значит, уйдет еще 89 школьников, и останется 8010 — 89 = 7921.
4. Этот процесс повторяется до тех пор, пока не останется меньше 520 школьников.
Если следовать этим шагам, то можно обнаружить, что в момент, когда остается меньше 520 школьников, число школьников будет равно 506. Это и является решением задачи.
Ответ: 506