1 Ответ
1. В двух коробках лежали белые и красные шары, причём в первой коробке на 4 белых шара приходилось 3 красных, а во второй коробке на 3 белых шара приходилось 2 красных. Все шары ссыпали в один мешок, хорошо перемешали и теперь из мешка собираются вынуть один случайный шар. Три математика делают прогнозы:
Первый: «Шар окажется белым с вероятностью 7/12».
Второй: «Шар окажется белым с вероятностью 11/19».
Третий: «Шар окажется белым с вероятностью 19/35».
Кто из математиков может оказаться прав?
Первый
Второй
Третий
2. В лотерейном билете напечатаны номера от 1 до 45. Двое участников лотереи независимо друг от друга зачёркивают в своих билетах по 6 номеров. Первый выбирает номера совершенно случайным образом, а второй следует правилу: среди его номеров должно быть ровно два однозначных числа, при этом чётных и нечётных должно быть поровну. Какова вероятность того, что в их комбинациях окажется ровно один общий зачёркнутый номер? Результат округлите до тысячных.
P = C(11, 1)C(44, 5) / C(45, 6) ≈ 0.167
где C(n, k) — число сочетаний из n по k.
Ответ: 0.167
3. В летнем лагере 15 лучших игроков играют в настольный теннис «на победителя». В каждой игре побеждает тот, кто играет лучше, проигравший выбывает, а победитель играет со следующим игроком. Очерёдность вступления в игру была разыграна по жребию. Известно, что первый игрок победил уже пять раз. Какова вероятность того, что он же победит и в следующей игре?
Ответ: 6/7
4. Мария Ивановна и Марфа Петровна весь день варили компот в огромных кастрюлях и разливали его по трёхлитровым банкам. В конце дня у каждой осталось какое-то количество компота, которого не хватает на ещё одну трёхлитровую банку. Какова вероятность того, что если Мария Ивановна и Марфа Петровна сольют остатки компота вместе, то у них окажется не менее 4 литров компота?
Предположим, что у Марии Ивановны осталось x литров компота, а у Марфы Петровны — y литров. Тогда, объединив остатки, у них будет (x+y) литров компота.
Вероятность того, что после объединения остатков компота получится не менее 4 литров, можно выразить через следующие неравенства:
x + y >= 4,
где x и y — неотрицательные числа (так как компот не может быть отрицательным).
Если x и y не являются целыми числами, то можно округлить их в большую сторону. Например, если x = 2,3 литра и y = 1,7 литра, то округляем до x = 3 литра и y = 2 литра. Тогда x + y = 5 литров, что больше 4 литров.
Ответ: вероятность того, что у женщин будет не менее 4 литров компота после объединения остатков, равна 1 (или 100%).
5. В торговом центре три автомата продают кофе. В течение каждого отдельного дня первый автомат ломается с вероятностью 0,12, а второй – с вероятностью 0,1. Каждый вечер приходит инженер, проверяет все автоматы и чинит сломанные. Однажды инженер подсчитал, что математическое ожидание числа поломок в течение недели равно 2,8. С какой вероятностью в течение дня выходит из строя третий автомат?
Пусть p — вероятность того, что в течение дня ломается третий автомат. Тогда в среднем в день ломается: (1 — 0.12)(1 — 0.1)(1 — p) + 0.12(1 — 0.1)p + 0.1(1 — 0.12)p = 2.8 автоматов. Упростив уравнение, получаем: 0.88 — 0.098p — 0.97p — 0.024p = 2.8 -0.185p = 1.9 p = 1.03
Ответ: вероятность того, что третий автомат сломается в течение дня, составляет примерно 1,03.
6. Когда Рассеянному Учёному приходит в голову гениальная идея, он записывает её на листке бумаги, но тут же понимает, что идея не гениальная, комкает лист и кидает под стол, где стоят две мусорные корзины. Учёный попадает в первую корзину с вероятностью 0,25, и с такой же вероятностью он попадает во вторую. За утро Учёный бросил под стол пять скомканных гениальных идей. Найдите вероятность того, что в каждой корзине оказалось хотя бы по одной идее. Результат округлите до тысячных.
7. На межплеменную конференцию прибыли делегации трёх племен: Мумба, Юмба и Джумба. В делегации Мумба шесть членов, каждый из них знает всех своих соплеменников, а на конференции познакомился с семью членами других делегаций. В делегации Юмба 11 членов, каждый из них знает всех своих соплеменников и на конференции познакомился с двумя членами других делегаций. В делегации Джумба каждый знает всех своих соплеменников и познакомился с четырьмя членами других делегаций. Какое наименьшее количество членов может быть в делегации племени Джумба?
8. При въезде автомобиля на платный участок дороги компьютерная система с помощью камеры определяет высоту кабины автомобиля, проходящего через пункт оплаты. Если высота меньше граничного значения, то автомобиль считается легковым, в противном случае система определяет его как грузовой. От этого зависит плата за проезд по участку.
Иногда случаются ошибки: высокий легковой автомобиль система может ошибочно принять за грузовой, а небольшой грузовик — за легковушку.
На диаграммах показаны распределения высот легковых и грузовых автомобилей. Данные получены по представительной выборке и сгруппированы в интервалы шагом 55 см. На горизонтальной оси отмечены интервалы, на вертикальной — частоты значений из соответствующих интервалов.
Определите граничное значение высоты, при котором вероятность ошибки будет наименьшей.
9. В графе 8 вершин, нет петель, и две любые вершины были связаны единственным ребром (такой граф называется полным). Выбрали 11 случайных рёбер и удалили их. Найдите вероятность того, что получившийся граф по-прежнему связный (то есть найдётся путь между любыми двумя вершинами). Результат округлите до тысячных.