Пять положительных чисел таковы, что сумма их кубов меньше суммы их квадратов. Как доказать, что каждое из этих чисел меньше 2?

Решение:

Допустим, у нас есть пять положительных чисел: a, b, c, d и e. Из условия известно, что сумма кубов этих чисел меньше суммы их квадратов:
a^3 + b^3 + c^3 + d^3 + e^3 < a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2
Мы хотим доказать, что каждое из этих чисел меньше 2.
Начнем с доказательства того, что a < 2. Предположим, что a ≥ 2. Тогда a^3 ≥ 2^3 = 8, и a^2 ≥ 2^2 = 4. Если подставить эти значения обратно в неравенство, получим:
a^3 + b^3 + c^3 + d^3 + e^3 ≥ 8 + b^3 + c^3 + d^3 + e^3
a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 ≥ 4 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2
Изначальное неравенство утверждало, что сумма кубов чисел меньше суммы их квадратов. Но сейчас мы получили противоположное неравенство, что невозможно. Таким образом, предположение a ≥ 2 неверно, и мы можем заключить, что a < 2.
Аналогичным образом доказывается, что b < 2, c < 2, d < 2 и e < 2.
Ответ: мы показали, что каждое из пяти положительных чисел меньше 2, что и требовалось доказать.