В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) точка M — середина стороны AB. Как доказать, что 2AC = 3AB?

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольник AKB и треугольник BMK.

– Они имеют общую сторону BK;
– Углы при вершине B у них равны по условию (так как ÐABK = ÐBKA и ÐBMA = ÐBMK = 90° — по свойству равнобедренного треугольника);
– Сторона KM = KB по условию, следовательно, треугольники AKB и BMK равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

1. Из равенства треугольников следует, что AK = BM.
2. Так как BM = AK и BM + MK = AB (по свойству средней линии треугольника), то AK + MK = AB. Отсюда следует, что AC = 2(AK + MK) = 2AB.
3. Таким образом, 2AC = 4AB = 3AB, что и требовалось доказать.