Как доказать, что если а(а + b + c) < 0, то уравнение ах² + bx + c = 0 имеет два действительных корня?

Для доказательства рассмотрим дискриминант уравнения D = b^2 — 4ac.

Если a(a + b + c) < 0, тогда a^2 + ab + ac < 0. Вычтем ac из обеих сторон и получим a^2 + ab < 0. Разделим обе стороны на a (предполагая, что a не равно 0) и получим a + b < 0.

Теперь рассмотрим дискриминант D = b^2 — 4ac = b^2 + 4ab + 4ac — 4ac > 4(a + b)c. Так как a + b < 0 и c > 0 (поскольку c — старший коэффициент уравнения), то 4(a + b)c < 0 или D < 0. Это означает, что дискриминант отрицательный, и уравнение имеет два действительных корня.