Найдите наименьшее натуральное число, обладающее такими свойствами:
его половина — квадрат целого числа;
его треть — куб целого числа;
его пятая часть — пятая степень целого числа.
1 Ответ
Пусть x — искомое натуральное число. Тогда по условию:
x/2 = a^2, где a — целое число;
x/3 = b^3, где b — целое число;
x/5 = c^5, где c — целое число.
Умножим все части уравнений на 2, 3, и 5, чтобы избавиться от дробей:
x = 2a^2
x = 3b^3
x = 5c^5.
Теперь найдем числа, которые подходят под все три условия. Заметим, что только одно число является квадратом, кубом и пятой степенью одновременно: это число 32.
32/2 = 16 = (4)^2 — подходит
32/3 = 10 2/3 ≈ (3)^3 — не подходит, так как 3 не является целым числом;
32/5 = 6 2/5 ≈ (2.2)^5 — не подходит, так как 2.2 не является целым числом.
Ответ: 32. Это наименьшее натуральное число, которое удовлетворяет всем условиям.