Какое наибольшее количество попарно различных натуральных чисел, не больших 10, можно выбрать так, чтобы для любого числа 𝑁 из выбранных было верно, что произведение всех остальных чисел нацело делится на 𝑁?
1 Ответ
Пусть 𝑛 — количество выбранных чисел. Произведение всех чисел равно (10!) / ((10−𝑛)!). Чтобы произведение всех чисел нацело делилось на любое из выбранных чисел, произведение всех чисел должно делиться на это число. Таким образом, нужно выбрать такое минимальное значение 𝑛, при котором произведение всех чисел делится на каждое из чисел от 1 до 10.
Обозначим произведение всех чисел как 𝑃, тогда 𝑛 = 1, если 𝑃 делится на 1, т.е. если все числа меньше или равны 10.
Если 𝑛 = 2, то 𝑃 делится на 1 и 2.
Если 𝑛 = 3, то 𝑃 делится на 1, 2 и 3.
И так далее, пока 𝑛 = 10, то 𝑃 делится на все числа от 1 до 10.
Таким образом, наибольшее количество попарно различных натуральных чисел, не больших 10, которые можно выбрать так, чтобы для любого числа 𝑁 из выбранных было верно, что произведение всех остальных чисел нацело делится на 𝑁, равно 10.