Дан прямоугольный треугольник АВС с прямым углом В. Пусть М середина АС. Пусть точка Х такая, что ВМХ — прямоугольный равнобедренный треугольник с прямым углом М, и Х лежит в той же полуплоскости относительно прямой ВМ, что и точка А. Обозначим точкой Y пересечение АХ и ВС. Найдите угол AYB, ответ выразите а градусах.
1 Ответ
Пусть ∠BAC = 90 — x. Тогда ∠BAX = x, так как треугольник BMX равнобедренный. Заметим, что треугольник AYM подобен треугольнику AXC по двум углам (вертикальный и накрест лежащий при пересечении параллельных прямых AX и CM секущей AC), поэтому ∠AYM = ∠XAC = (90-x)/2.
Теперь найдем ∠AYB. Он равен ∠A + ∠MAB — ∠MAY, где ∠MAY = ∠MAC — ∠AMC = 90/2 — (90 — x)/2 = x/2. Итак, ∠AYB = x + x/2 — ((90-x)/2) = x/2 + x — 45 + x/2 = 3x/2 — 45.
Таким образом, искомый угол ∠AYB равен 3(90-∠B)/2 — 45 или 135 — 3∠B/2. Ответ: 135 — 3α/2, где α — величина угла B.