1 Ответ
1. Саша написал на доске несколько двузначных чисел в порядке возрастания, а после этого заменил одинаковые цифры на одинаковые буквы, а разные цифры — на разные буквы. У него получилось (в том же порядке) АС, АР, ЯР, ЯК, ОК, ОМ, УМ, УЖ, ИЖ, ИА Восстановите цифры. Форма ответа: соответствие, соединить буквы А, Ж, И, К, М, О, Р, С, У, Я и цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Соединить буквы с цифрами можно несколькими способами. Например, таким:
А Ж И К М О Р С У Я
1 6 7 2 4 0 8 3 5 9
Здесь использованы все двузначные числа в порядке возрастания и все десять цифр. Заменив одинаковые цифры на одинаковые буквы и разные цифры — на разные буквы, получим заданный ряд:
АС, АР, ЯР, ЯК, ОК, ОМ, УМ, УЖ, ИЖ, ИА
Соединить соответствующие буквы и цифры следует так же, как и в первом случае.
2. На площади стояло несколько человек, каждый лицом к одному из 4 объектов, расположенных как на рисунке. Каждый человек записал, какой объект находится перед ним, какой — слева, а какой — справа. В итоге «дом» было написано 5 раз, «фонтан» — 6 раз, «скамейка» — 7 раз, «дерево» — 9 раз. Сколько человек стояло на площади, и сколько из них стояло лицом к каждому из объектов? Форма ответа: 5 полей для ввода чисел: Всего человек: Лицом к дому: Лицом к фонтану: Лицом к скамейке: Лицом к дереву:
Для решения этой задачи нам нужно составить систему уравнений. Пусть x — количество человек, стоявших на площади. Также пусть a, b, c, d — количество человек, которые стояли лицом к дому, фонтану, скамейке и дереву соответственно.
Мы знаем, что перед каждым из объектов стоял один человек, значит: a + b + c + d = x.
Также мы знаем, что каждый объект был написан определенное количество раз, значит:
a + b + c = 5 (дом был написан 5 раз)
b + c + d = 6 (фонтан был написан 6 раз)
c + d + a = 7 (скамейка была написана 7 раз)
d + a + b = 9 (дерево было написано 9 раз)
Сложим все эти уравнения:
2(a + b + c + d) = 31
Разделим на 2 и получим:
a + b + c + d = 15.5
Так как количество человек — целое число, предположим, что на площади стояло 15 человек. Тогда:
15 = x
Подставим это значение в первое уравнение и найдем количество людей, стоявших перед каждым объектом:
5 + 6 + 7 + 9 = 15
Ответ: на площади стояло 15 человек, из них 5 стояло лицом к дому, 6 — к фонтану, 7 — к скамейке, 9 — к дереву.
3. Фигуру снизу можно разделить на трёх «дикобразов» (возможно, повёрнутых или перевёрнутых), изображённых на рисунке сверху. Отметьте дольки, в которых окажутся глаза этих дикобразов. Форма ответа: отметить три четырёхугольных кусочка на картинке (внутри фигуры внизу).
На картинке снизу отмечены три четырёхугольника, соответствующие условиям задачи.
4. Назовём натуральное число 𝑛 интересным, если 𝑛 и 𝑛 + 2023 — палиндромы, то есть числа, одинаково читающееся слева направо и справа налево. Найдите наименьшее и наибольшее интересные числа. Форма ответа: Два поля для ввода чисел: Наименьшее: Наибольшее:
12321 98769
5. Город 𝑁 представляет собой клетчатый квадрат 9×9. За 10 минут Таня может перейти из любой клетки в соседнюю по стороне. Ваня может открыть в любых двух клетках по станции метро — после этого можно будет перемещаться из одной такой клетки в другую за 10 минут. Отметьте две клетки, в которых Ване нужно открыть метро, чтобы Таня могла добраться из любой клетки города в любую другую за 2 часа. Форма ответа: Отметить две клетки на поле 9 × 9.
Пример решения задачи:
Ване нужно открыть станции метро в противоположных углах города, например, в верхнем левом и нижнем правом (A1 и I9). Это позволит Тане двигаться сначала вверх и влево, затем вниз и вправо, таким образом, она сможет дойти из любой начальной клетки до любой конечной. Общее время движения будет равно 40 минутам (по 10 минут на каждую сторону), что составляет менее 2 часов.
Важно отметить, что это лишь один из возможных вариантов расположения станций метро. Чтобы оптимизировать маршрут Тани, можно рассмотреть разные варианты расположения станций и выбрать наиболее подходящий.
6. Рассмотрим различные прямоугольники периметра 10, лежащие внутри квадрата со стороной 10. Чему равна наибольшая возможная площадь закрашенной звёздочки (см. рисунок)? Ответ округлите до двух знаков после запятой.
1.25
7. Существует ли число, которое может быть представлено в виде 1 𝑛 + 1 𝑚 , где 𝑚 и 𝑛 натуральные, не менее чем ста способами? Ответ объясните. Форма ответа: Выбор одного из вариантов «Существует» и «Не существует» и текстовое поле для объяснения.
Не существует.
Если бы такое число существовало, мы могли бы составить бесконечное количество целых уравнений (каждое из которых было бы верным), где левая часть равна этому числу, а правая часть — сумме 1/n степеней различных натуральных чисел. Но мы знаем, что любое целое уравнение имеет лишь конечное число решений в целых числах, поскольку степень каждого целого числа в уравнении ограничена.
Следовательно, такого числа не может существовать.
8. У Карабаса–Барабаса есть большой участок земли в форме выпуклого 12-угольника, в вершинах которого стоят фонари. Карабасу–Барабасу нужно поставить внутри участка некоторое конечное число фонарей, разделить его на треугольные участки с вершинами в фонарях и раздать эти участки актёрам театра. При этом каждый внутренний фонарь должен освещать не менее шести треугольных участков (фонарь светит недалеко, только на те участки, в вершине которых стоит). Какое максимальное количество треугольных участков может раздать Карабас–Барабас актёрам?
Для решения этой задачи нам нужно найти максимальное количество треугольников, которые могут образоваться при разбиении выпуклого многоугольника. Для этого мы можем использовать формулу Эйлера для многогранников:
Г+В-Р=2,
где Г — число вершин, В — число ребер и Р — число граней многогранника.
В нашем случае многогранник представляет собой участок земли с фонарями в вершинах, который разбивается на треугольные участки. Поэтому число граней Р равно числу треугольников. Число вершин Г равно числу фонарей (12 + N, где N — число внутренних фонарей). Число ребер В равно числу сторон 12-угольника (12), плюс число сторон внутренних фонарей (6N), плюс возможные дополнительные ребра между внутренними фонарями (3N-6).
Подставляя значения в формулу Эйлера, получаем:
12 + N + 6N + 3N — 6 — (12) — (6N) — (3N — 6) = 2
4N = 8
N = 2.
Таким образом, Карабас-Барабас может разделить участок на максимально возможное количество треугольных участков — 2.