На доске записаны три простых числа (не обязательно различных). Денис заметил, что их сумма и произведение отличаются в 59 раз. Чему может быть равна сумма трёх чисел на доске?

Все простые числа не меньше 2, поэтому их произведение не меньше учетверённого наибольшего из них. А их сумма не превосходит утроенного наибольшего из них. Следовательно, произведение больше суммы в 59 раз. Поскольку произведение трёх простых чисел делится на 59, то одно из них равно 59. Обозначим два других простых числа через p и q, будем считать p ⩽ q. Тогда pq · 59 = 59 · (p + q + 59), откуда pq = p + q + 59 и (p − 1)(q − 1) = 60. Учитывая, что 1 ⩽ p − 1 ⩽ q − 1, получаем несколько вариантов.
• Пусть p − 1 = 1, q − 1 = 60. Тогда p = 2, q = 61. Сумма всех трёх простых чисел равна 2 + 61 + 59 = 122.
• Пусть p − 1 = 2, q − 1 = 30. Тогда p = 3, q = 31. Сумма всех трёх простых чисел равна 3 + 31 + 59 = 92.
• Пусть p − 1 = 3, q − 1 = 20. Тогда p = 4 — не простое. Этот случай не подходит.
• Пусть p − 1 = 4, q − 1 = 15. Тогда q = 16 — не простое. Этот случай не подходит.
• Пусть p − 1 = 5, q − 1 = 12. Тогда p = 6 — не простое. Этот случай не подходит.
• Пусть p − 1 = 6, q − 1 = 10. Тогда p = 7, q = 11. Сумма всех трёх простых чисел равна 7 + 11 + 59 = 77.
Ответ: 77, 93, 122.