На доске написаны все натуральные числа от 1 до 12! К доске подошли девять школьников. Первый умножил все числа на 2, второй умножил полученные числа на 3, третий — на 4, девятый — на 10. Сколько различных остатков при делении на 12! дают полученные числа?
1 Ответ
Решение:
Первый школьник умножил числа на 2 и получил 1, 2, 3,…, 12!, 13, 14, …, 24!
Второй школьник умножил эти числа на 3 и получил 3, 6, 9, …, 36!, 39, 42, …, 72!
Третий школьник умножил их на 4 и получил 4, 8, 12, …,64!, 68, 72, …,128!
и так далее, каждый школьник умножает на 10, получая 10 чисел, которые делятся на 12!:
12!, 24!, 36!, …, 120!, 126!, 132!, … и так далее.
Таким образом, каждый из школьников умножил на 10 числа, которые оканчиваются на 1 или 7, что дает 1 + 7 = 8 различных остатков.
Всего же все школьники умножили на 10 12 чисел, поэтому общее количество остатков будет равно 12 * 8 = 96.